Question

（初学者）

我想知道如何找到第n个序列F [n] = F [n-1] + F [n-2]。

输入：

F[0] =  a;
F[1] =  b;
a,b < 101
N < 1000000001 
M < 8; M=10^M;

a和b是起始序列号。

n是我需要找到的序列的第n个数字。

M是模数，数字变得非常快，所以F [n] = F [n]％10 ^ M，我们找到余数，因为只需要第n个数字的最后一位数

递归方法太慢了：

int fib(int n)
{
   if (n <= 1)
      return n;
   return fib(n-1) + fib(n-2);
}

花费O（n）时间的动态编程解决方案也太慢了：

f[i] = f[i-1] + f[i-2];

虽然如果序列的第一个数字是0和1（第0个数字可以在O（log n）中找到），如果使用这个公式可以更快地找到第n个数字的解决方案：

If n is even then k = n/2:
F(n) = [2*F(k-1) + F(k)]*F(k)

If n is odd then k = (n + 1)/2
F(n) = F(k)*F(k) + F(k-1)*F(k-1)

但是如果起始数字类似于25和60，则此公式不起作用。并且递归方法太慢。

所以我想知道怎样才能找到比O（n）更快的序列的第n个数。部分代码会有所帮助。

谢谢。

Answer 1

这个矩阵：

A = / 1  1 \
    \ 1  0 /

当乘以列向量（f _{n + 1}，f _n）时，其中f _n是Fibonacci中的第n个数字序列，将给你列向量（f _{n + 2}，f _{n + 1}），即它会提前一步。无论序列的初始元素是什么，这都有效。

例如：

/ 1  1 \ / 8 \  =  / 13 \
\ 1  0 / \ 5 /     \ 8  /

所以第n个斐波纳契数是A ^n-1 v的第一个元素，其中v是包含f ₁且f _{0的列向量}，序列中的前两个数字。

因此，如果你能快速计算A ^n-1模数某个数，这将给你f _n。这可以使用Exponentiation by squaring来完成，它在O（logn）中有效。只需确保在每次乘法和加法后执行模数，以防止数字变得过大。