使用Bellman Ford检测产品超过阈值的周期

Question

Bellman Ford用于检测图中的负加权循环。我想知道如何使用它来检测超过某个阈值的周期。

示例：

Arrays

此图表有2个周期。一个产品= 1，另一个产品= 4.如果阈值= 1，算法应该输出真，因为有一个产品的循环> 1.

Answer 1

我假设你想检测一个重量超过某个阈值的简单循环（否则，你可以重复任何正重量> 1个循环足够的时间以超过任何正阈值）。

不幸的是，这个问题是NP-Hard。

从Hamiltonian cycle problem：

简单缩减

给定哈密顿循环问题的实例G=(V,E)，对于任何边缘保持相同的图G和w(e) = 2，并将其发送到阈值为2^|V|-1的问题。
如果有任何一个重量大于2^|V|-1, then it has more than | V | -1`边的循环，那么这个循环是哈密顿的，如果有一个哈密顿循环，算法会发现有一个循环重量2 * 2 * ... * 2> 2 ^ | V | -1

由于哈密顿循环是Np完全的，我们发现它的多项式减少到这个问题，这个问题是NP-Hard，并且没有已知的多项式解。

tl; dr：使用Bellman Ford解决这个问题，远非微不足道，如果可能的话，需要将图形修改为原始图形的指数（假设P！= NP）

Answer 2

问题的部分解决方案

只要阈值等于1，此解决方案就可以正常工作。

tl; dr 通过应用对数并使用Floyd-Warshal检测负周期来改变边的权重，如果周期的原始权重的乘积大于1，则会发生负周期。

长答案。 Floyd-Warshal可用于APSP，也可用于检测negative cycles in a graph。为了解决这个问题，解决方案是找到否定。循环，执行以下操作：

• 根据邻接矩阵构建图表
• 使用log(weight of edge) * (-1)
初始化矩阵的值

如果原始值小于1，则此value将变为正数，或换句话说：对于大于1的所有值，此{{3}}为负。

从log(m * n) = log(m) * log(n)开始，我们不必再乘以获得结果，只需添加日志即可。

因此，如果算法发现负循环，我们就可以知道它从原始循环边缘产生的产品大于1.