Question

说明

有1000个联合，每个联合包含x个节点（x是1~100之间的随机值）。现在我们可以创建一个从union A中的一个节点到union B中另一个节点的连接。

规则是：

1. one node only accepts just one connection. 
2. The connection must be across different unions.

同样，尽可能多地创建这种连接。

最后，由于其他联盟中没有其他可用节点，可能还有几个节点无法连接。

例如：

Union 1: a b c
Union 2: d e
Union 3: f g h i j

如果我们选择以下连接：

U1.a <-> U2.d
U1.b <-> U2.e
U1.c <-> U3.f

联盟3中的h i j将被保留。

但如果我们使用其他类型的连接：

U1.a <-> U3.f
U1.b <-> U3.g
U1.c <-> U3.h
U2.d <-> U3.i
U2.e <-> U3.j

然后就没有节点了。

所以问题是：

我们如何设计算法以尝试找到最佳解决方案，使无连接节点最少？

Answer 1

这相当于partition problem，其中输入multiset中的每个元素都是union的长度。此外，这个问题总是可以通过在O（n）时间内运行的简单贪婪实现来解决。例如，请考虑以下输入：

Union 1: a a a
Union 2: b b b b b b b b b
Union 3: c c c c c c c c c c
Union 4: d d d d d d d d d d 
Union 5: e e

简单的贪婪算法创建两个输出列表。对于每个联合（从具有最多元素的联合开始），联合的元素将添加到较短的输出列表中。结果是两个这样的列表：

c c c c c c c c c c b b b b b b b b b
d d d d d d d d d d a a a e e

下一步是从较长列表的末尾获取一些项目，并将它们添加到较短列表的开头。在此示例中，移动了两个b：

c c c c c c c c c c b b b b b b b 
b b d d d d d d d d d d a a a e e

那么，它会一直有效吗？是的，唯一的例外是当一个工会包含超过项目总数的一半时。在这种情况下，不会从较长的列表中移动任何项目。

这是python中的一个示例实现：

inputList = [['a','a','a'],
            ['b','b','b','b','b','b','b','b','b'],
            ['c','c','c','c','c','c','c','c','c','c'],
            ['d','d','d','d','d','d','d','d','d','d'],
            ['e','e']]
topCount = 0
botCount = 0
topList = []
botList = []

# sort the input in descending order based on length
inputList = sorted(inputList, key=lambda x:len(x), reverse=True)

# greedy partitioning into two output lists
for itemList in inputList:
    if topCount <= botCount:
        topList += itemList
        topCount += len(itemList)
    else:
        botList += itemList
        botCount += len(itemList)

# move some elements from the end of the longer list to the beginning of the shorter list
if topList[0] != topList[-1]:
    if topCount > botCount+1:
        excess = (topCount - botCount) // 2
        botList = topList[-excess:] + botList
        topList = topList[:-excess]
    elif botCount > topCount+1:
        excess = (botCount - topCount) // 2
        topList = botList[-excess:] + topList
        botList = botList[:-excess]

print topList
print botList

输出结果为：

['c', 'c', 'c', 'c', 'c', 'c', 'c', 'c', 'c', 'c', 'b', 'b', 'b', 'b', 'b', 'b', 'b']
['b', 'b', 'd', 'd', 'd', 'd', 'd', 'd', 'd', 'd', 'd', 'd', 'a', 'a', 'a', 'e', 'e']

Answer 2

这看起来像matching problem，其图表是：

G=(V,E), 
V = {all nodes}, 
E={(u,v) | u and v not in same union}

可以通过Blossom algorithm

解决

如何找到连接不同联盟之间不同节点的最佳方法？

2 个答案: