从一个节点A到节点B的最大边缘权重

Question

给定具有 N 节点的连通无向图（1 <= N <= 2 * 10 ^ 5）且 N-1 边缘。让我们定义一个函数 F（a，b），其中 F（a，b）等于路径中的最大边权重到 b 。我们如何找到所有 a ， b 的 F（a，b）的总和，以便 1 ＆lt; = a ， b ＆lt; = N （mod 10 ^ 9 + 7）

示例图

F（a，b）等于从a到b的路径中的最大边缘权重。

F（1,2）= 2

F（1,3）= 2

F（1,4）= 4

F（1,5）= 4

F（2,3）= 1

F（2,4）= 4

F（2,5）= 4

F（3,4）= 4

F（3,5）= 4

F（4,5）= 3

所有对的F之和等于32。

Answer 1

我们可以使用Kruskal的MST算法的变体（Kruskal通过增加重量来排序边缘，贪婪地插入不借助于不相交的集合数据结构进行循环的那些） 。将运行总和初始化为零;每当我们合并一个不相交的大小为S1的集合（这个信息可以作为一个不相交的集数据结构的副产品，通过大小联合）和一个不相交的大小为S2的集合，通过权重w，添加S1 * S2 * w和mod 10 ^ 9 + 7。