Question

我有一组矩形和一个参考矩形。我想知道参考矩形是否被它上面的矩形（集合中的所有矩形）完全遮盖了。例如：

显而易见的解决方案是创建一个bool或位图矩阵，然后简单地将所有矩形blit并检查是否有任何未覆盖的内容，但这不是一个选项。这必须每秒进行很多次。

我提出了这个想法：对于每个矩形，将它与每个其他矩形相交（并将它们限制在参考矩形），从而产生一组不相交的较小矩形，如下所示： http://i54.tinypic.com/s1j30h.png

然后简单地添加它们的所有区域并从参考矩形的区域中减去。但是我不确定如何做到最好。欢迎任何其他想法，建议或例子。

谢谢。

Answer 1

设n为覆盖矩形的数量。可以使用平面扫描（http://en.wikipedia.org/wiki/Sweep_line_algorithm）和增强的自下而上的展开树（http://en.wikipedia.org/wiki/Splay_tree）在时间O（n log n）内解决此问题。

将所有覆盖矩形剪切为参考。
通过排序，将问题减少到覆盖矩形的所有x坐标在[0,2n）中为整数的问题。同样地转换y坐标。
创建一个2n节点的展开树。节点j的值是在开放间隔（j，j + 1）中与扫描线相交的矩形的数量。对于O（log n）-time更新，不要将j的值存储在j中，而是将j的值与j的父值相加（root存储其真值）。旋转稍微复杂一些：旋转
```
    y          x
   / \        / \
  x   c  ->  a   y
 / \            / \
a   b          b   c
```
涉及更新
```
b.diff += x.diff;  // if b exists
x.diff += y.diff;
y.diff -= x.diff;
```
每个节点还跟踪其子树最小值。为了与先前描述的值表示兼容，节点j存储其子树最小值与其值的差值。轮换期间：
```
y.diffmin = min(0, b.diffmin + b.diff, c.diffmin + c.diff);
```
在展开操作结束时，以相同方式更新根。如果不存在则省略b或c。
清扫线。对于[0,2n）中的x，找到左侧为x的所有矩形，并按如下方式更新树。对于从y0到y1的矩形，展开y1并增加其左子的diff（并重新计算diffmin），然后展开y0并减少其左子的diff。

处理完所有左侧后，检查树分钟。如果它为零，则不包括引用。

以相同的方式处理右侧（说明中的交换增量和减量）。