Question

我有两个整数n和d。这些可以用双dn（n）和双dd（d）精确表示。有没有一种可靠的方法在C ++中检查是否

double result = dn/dd

包含舍入错误？如果它只是一个整数除法检查(n/d) * d==n是否可行，但使用双精度算法执行此操作可能会隐藏舍入错误。

编辑：发布后不久，让我感到震惊的是，将舍入模式更改为round_down会使(n/d)*d==n测试工作为double。但如果有一个更简单的解决方案，我仍然希望听到它。

Answer 1

如果忽略溢出和下溢（除非表示d和n的整数类型非常宽，否则你应该能够做到），那么（二进制）浮点除法{{1确切地说，iff dn/dd是d乘以2的幂的除数。

检查此问题的算法可能如下所示：

如果你希望舍入模式在其余时间“最接近”，这比改变FPU舍入模式便宜，并且可能存在可以加速提取最大奇数除数的比特诡计。 assert(d != 0); while (d & 1 == 0) d >>= 1; // extract largest odd divisor of d int exact = n % d == 0;。

Answer 2

如果硬件FMA可用，那么，在大多数情况下（预计n不小的情况下，如下），最快的测试可能是：

#include <cmath>
…
double q = dn/dd;
if (std::fma(-q, dd, dn))
    std::cout << "Quotient was not exact.\n";

如果 nd - q • dd 如此之小，它可能会失败，它会四舍五入为零，这发生在舍入到最近的位置如果其幅度小于最小可表示正值的一半（通常为2 ^-1074），则为-even-even模式。只有当dn本身很小时才会发生这种情况。如果需要，我希望我可以计算dn上的一些限制，并且，假设dn = n且n是整数，则不应该发生。

忽略指数边界，测试可分性的有效位数的方法是：

#include <cfloat>
#include <cmath>
…
int sink; // Needed for frexp argument but will be ignored.
double fn = std::ldexp(std::frexp(n, &sink), DBL_MANT_DIG);
double fd = std::frexp(d, &sink);
if (std::fmod(fn, fd))
    std::cout << "Quotient will not be exact.\n";

鉴于 n 和 d 是在浮点类型中可以完全表示的整数，我想我们可以证明他们的指数不能是这样的，上面的测试会失败。有些情况下 n 是一个小整数且 d 很大（从2 ¹⁰²³到2 ¹⁰²⁴的值我需要考虑-2 ⁹⁷²，包括在内。

Answer 3

在C ++中是否有可靠的方法来检查double result = dn/dd是否包含舍入错误？

如果您的系统允许访问各种FP标志，请在分割后测试FE_INEXACT。

如果FP代码很昂贵，那么至少可以使用此代码来检查仅整数解决方案。

遵循C解决方案，（我无法访问兼容的C ++编译器以立即进行测试）

#include <fenv.h>
// Return 0: no rounding error
// Return 1: rounding error
// Return -1: uncertain
#pragma STDC FENV_ACCESS ON
int Rounding_error_detection(int n, int d) {
  double dn = n;
  double dd = d;

  if (feclearexcept(FE_INEXACT)) return -1;
  volatile double result = dn/dd;
  (void) result;
  int set_excepts = fetestexcept(FE_INEXACT);
  return set_excepts != 0;
}

测试代码

void Rounding_error_detection_Test(int n, int d) {
  printf("Rounding_error_detection(%d, %d) --> %d\n", 
    n, d, Rounding_error_detection(n,d));
}

int main(void) {
  Rounding_error_detection_Test(3, 6);
  Rounding_error_detection_Test(3, 7);
}

输出

Rounding_error_detection(3, 6) --> 0
Rounding_error_detection(3, 7) --> 1

Answer 4

如果商q=dn/dd是精确的，它将dn精确划分dd次由于你有dd是整数，你可以用整数除法测试精确度而不是测试商数乘以dd和(dn/dd)*dd==dn，其中四舍五入错误可以补偿，你应该测试余数。
确实std:remainder总是确切的：

if(std:remainder(dn,dn/dd)!=0)
    std::cout << "Quotient was not exact." << std::endl;

舍入错误检测

4 个答案: