由于多态性功能导致的非阳性发生

Question

我正在尝试使用带有列表的构造函数定义数据类型，并包含有关此列表的命题。

这很好用：

Require Import Coq.Lists.List.
Import ListNotations.

Inductive Foo :=  MkFoo : list Foo -> Foo.

这样做：

Inductive Foo :=  MkFoo : forall (l : list Foo), Foo.

但这失败了

Inductive Foo :=  MkFoo : forall (l : list Foo), l <> [] -> Foo.

带

Non strictly positive occurrence of "Foo"
in "forall l : list Foo, l <> [] -> Foo".

我认为这是因为[]实际上是@nil Foo而Coq不喜欢Foo的这种情况。

我目前正在使用vector来解决这个问题，就像这样

Require Import Coq.Vectors.Vector.

Inductive Foo :=  MkFoo : forall n (l : Vector.t Foo n), n <> 0 -> Foo.

但由于在Coq中使用依赖数据结构而出现的复杂情况让我感到奇怪：

有没有办法可以在MkFoo中使用普通列表，并且仍然包含有关该列表的命题？

Answer 1

我认为不幸的是，没有一种方法可以直接在定义中包含该约束。我看到前进的两条道路：

1. 更改mkFoo的定义，以便将列表的头部作为附加参数：

   mkFoo : Foo -> list Foo -> Foo
   

2. 无限制地定义Foo，并定义一个单独的格式良好的谓词：

   Require Import Coq.Lists.List.
   
   Inductive Foo := mkFoo : list Foo -> Foo.
   
   Definition isEmpty {T : Type} (x : list T) :=
     match x with
     | nil => true
     | _   => false
     end.
   
   Fixpoint wfFoo (x : Foo) : Foo :=
     match x with
     | mkFoo xs => negb (isEmpty xs) && forallb wfFoo xs
     end.
   

   然后，您可以显示您关注的Foo上的所有功能wfFoo。也可以使用子集类型将Foo的成员打包为wfFoo的证明，从而保证Foo的客户端永远不必触及不正确的元素。由于wfFoo被定义为布尔属性，因此等式wfFoo x = true与证明无关，这可以保证类型{ x : Foo | wfFoo x = true }表现良好。 Mathematical Components library为这种结构提供了很好的支持。