Question

在文献中，共轭梯度法通常用于实对称正定矩阵。但是，在Eigen库中的CG方法的描述中： https://eigen.tuxfamily.org/dox/group__IterativeLinearSolvers__Module.html 人们可以找到声明： “ConjugateGradient for selfadjoint（hermitian）matrices”

这意味着它也应该适用于Hermitian（复杂的，而不是纯粹的）矩阵。是这样的吗？

一个最小的例子表明它实际上不能用Hermitian矩阵天真地工作。是否有人需要知道的技巧或描述中的错误？

我的最小例子使用自旋3/2矩阵Sx（实对称）和Sy（复Hermitian），其特征值知道为-1.5，-0.5,0.5,1.5。

真实对称情况的结果很好，但在复杂的情况下，它会产生NaN。

#include <iostream> 
#include <complex>
#include <Eigen/Core>
#include <Eigen/IterativeLinearSolvers>

int main(int args, char **argv){

  Eigen::VectorXcd b=Eigen::VectorXcd::Ones(4);    
  Eigen::VectorXcd x;

  std::complex<double> i_unit(0,1);

//Hermitian matrix:
  Eigen::MatrixXcd A(4,4);
  A<<0,-i_unit*sqrt(3.)/2., 0 ,0,  \
     i_unit*sqrt(3.)/2., 0 ,-i_unit, 0,\
     0,i_unit,0,-i_unit*sqrt(3.)/2.,\
     0,0,i_unit*sqrt(3.)/2.,0;

//Real symmetric matrix:
  Eigen::MatrixXcd B(4,4);
  B<<0,sqrt(3.)/2., 0 ,0,  \
     sqrt(3.)/2., 0 ,1, 0,\
     0,1,0,sqrt(3.)/2.,\
     0,0,sqrt(3.)/2.,0;

  Eigen::ConjugateGradient< Eigen::MatrixXcd, Eigen::Lower|Eigen::Upper> cg;
  cg.compute(A);
  x = cg.solve(b);

  std::cout<<"Hermitian matrix:"<<std::endl;
  std::cout<<"A: "<<std::endl<<A<<std::endl;
  std::cout<<"b: "<<std::endl<<b<<std::endl;
  std::cout<<"x: "<<std::endl<<x<<std::endl;
  std::cout<<"(b-A*x).norm(): "<<(b-A*x).norm()<<std::endl;
  std::cout<<"cg.error(): "<<cg.error()<<std::endl;
  std::cout<<std::endl;

  cg.compute(B);
  x = cg.solve(b);
  std::cout<<"Real symmetric matrix:"<<std::endl;
  std::cout<<"B: "<<std::endl<<B<<std::endl;
  std::cout<<"b: "<<std::endl<<b<<std::endl;
  std::cout<<"x: "<<std::endl<<x<<std::endl;
  std::cout<<"(b-B*x).norm(): "<<(b-B*x).norm()<<std::endl;
  std::cout<<"cg.error(): "<<cg.error()<<std::endl;
  std::cout<<std::endl;
  return 0;
}

Answer 1

Hermitian是不够的，它也需要正定，这不是你的情况，因为你的矩阵有正负特征值。无论如何，CG设计用于处理非常大的稀疏矩阵，对于4x4矩阵，更好地使用密集分解。在您的情况下，LDLT会很好。

Hermitian矩阵的Eigen中的共轭梯度

1 个答案: