使用n次旅行到达开始城市的方法

Question

在一些编程比赛中，我看到了这个问题：

  

一个人想要去一些城市并回到那里的城市   他/她开始了。共有5个城市，每个城市都相连   到邻近的城市，即：c1 - c2，c2 - c3，c3 - c4，c4 - c5，c5 -   C1。这个人将从城市1开始旅程。此外，这个人   有一些有限的旅行用于旅行。从一个城市到另一个城市旅行需要花费他/她一次旅行。我们需要找到   一个人可以在特定城市旅行的方式总数   使用分配的旅行次数返回城市1。

Example: 

Input: 4
(means 4 trips are allowed)
Output: 6
(As the output can be large, so it should be modulo 10^9+7)
the possible ways are: 
1-2-1-2-1
1-2-1-5-1
1-5-1-2-1
1-5-1-5-1
1-2-3-2-1
1-5-4-5-1

如果问题对行程数量的限制小于10 ^ 9那么它很容易解决，因为问题具有最佳子结构和重叠子问题。但给出的约束是1 <= n <= 10 ^ 18。我无法初始化维度很长的数组，因此无法应用dp。请帮我解决如何使用dp解决这个问题。或者这个问题只是一种排列或组合类型的问题？ 谢谢。

Answer 1

我建议：

1. 以矢量形式存储到达每个城市的方式数
2. 制定一个矩阵，允许您按1步更新此向量
3. 使用二进制求幂将矩阵提升到幂n
4. 通过起始矢量（1,0,0,0,0）
多个此幂矩阵
5. 在条目1中读取n步后到达城市1的方式数

Answer 2

（编辑）

抱歉，读得有点太快了。

如果所有城市都已连接，那么这是一个简单的排列问题。

如果没有，您可以将其视为图形问题，并通过扩展的广度优先搜索解决它，一旦达到可能的行程限制，就会封锁。

Answer 3

这个问题纯粹是数学问题;答案是一个数学公式，一旦在纸上计算，你只需在你的程序中绘图。

您可以通过前后移动（需要2个步骤的多个步骤）或完成圆圈（需要5个步骤的倍数）来达到初始点。因此，您需要检查n与2和5的可分性，或者，将其置于数学形式，检查n=2*k或n=5*q。我们将为2个案例独立计算路径数，但如果n可以对2和5进行整除，我们将添加两个结果（因为n个步骤可以两种方式完成，可以是2的倍数或倍数5）。

如果n=5*q，我们将执行n个步骤作为5个步骤的q个循环。每个循环可以是任一方向，顺时针或逆时针。对于第一个循环，有2种可能性（2个方向），对于第二个循环，另外2个可能性，独立于前一个循环，依此类推。因此，路径数量为2 * 2 * 2 ... = 2 ^q 。

如果n=2*k，我们将执行n个步骤作为k个来回路径（前进一步，后退一步）。对于这些k路径中的每一个，有两个方向，因此，对于k个闭合路径，有 2 ^k 路径。

注意：我为1-2-1之类的路径指定了来回路径或闭路径。实际上，从图论的角度来看，它们也是循环，但我并没有将它们命名为循环，而不是将它们与1-2-3-4-5-1循环混淆。

然而，上述计算没有考虑1-2-3-2-1之类的路径，而只考虑1-2-1-2-1或1-2-1-5-1 。我还在研究那个＆gt;我将以现在的方式发布这个答案，以便给出计算结果的灵感。

要考虑的另一个方面是我们可以将n写成2 * a + 5 * b的方式的数量，给出2 ^a * 5 ^b 路径。我认为n=2*a+5*b是一个动态方程式。