python：解微分方程的初始条件

Question

我想解决这个微分方程： y''+ 2y'+ 2y = cos（2x）初始条件：

1. Y（1）= 2，Y'（2）= 0.5

2. Y'（1）= 1，Y'（2）= 0.8

3. Y（1）= 0，Y（2）= 1

它的代码是：

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
def dU_dx(U, x):
    return [U[1], -2*U[1] - 2*U[0] + np.cos(2*x)]
U0 = [1,0]
xs = np.linspace(0, 10, 200)
Us = odeint(dU_dx, U0, xs)
ys = Us[:,0]
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("Damped harmonic oscillator")
plt.plot(xs,ys);

我该如何实现它？

Answer 1

您的初始条件不是，因为它们在两个不同的点给出值。这些都是边界条件。

def bc1(u1,u2): return [u1[0]-2.0,u2[1]-0.5]
def bc2(u1,u2): return [u1[1]-1.0,u2[1]-0.8]
def bc3(u1,u2): return [u1[0]-0.0,u2[0]-1.0]

您需要BVP求解器来解决这些边值问题。

在第一种情况下，您可以使用射击方法制作自己的求解器

def shoot(b): return odeint(dU_dx,[2,b],[1,2])[-1,1]-0.5

b = fsolve(shoot,0) 

T = linspace(1,2,N)
U = odeint(dU_dx,[2,b],T)

或使用割线方法而不是scipy.optimize.fsolve，因为问题是线性的，因此应该在1个步骤中收敛，最多2个步骤。

或者您可以使用scipy.integrate.solve_bvp求解器（也许比问题更新？）。您的任务与记录的示例相似。请注意，在所有其他求解器中，ODE函数中的参数顺序也已切换，即使在odeint中，您也可以指定选项tfirst=True。

def dudx(x,u): return [u[1], np.cos(2*x)-2*(u[1]+u[0])]

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用solve_bvp生成的解决方案，节点是积分间隔的自动生成的细分，它们的密度表明ODE在该区域中的位置“不平坦”。

xplot=np.linspace(1,2,161)
for k,bc in enumerate([bc1,bc2,bc3]):
    res = solve_bvp(dudx, bc, [1.0,2.0], [[0,0],[0,0]], tol=1e-5)
    print res.message
    l,=plt.plot(res.x,res.y[0],'x')
    c = l.get_color()
    plt.plot(xplot, res.sol(xplot)[0],c=c, label="%d."%(k+1))

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使用x=0处的初始值作为未知参数的射击方法生成的解，然后获得区间[0,3]的解轨迹。

x = np.linspace(0,3,301)
for k,bc in enumerate([bc1,bc2,bc3]):
    def shoot(u0): u = odeint(dudx,u0,[0,1,2],tfirst=True); return bc(u[1],u[2])
    u0 = fsolve(shoot,[0,0])
    u = odeint(dudx,u0,x,tfirst=True);
    l, = plt.plot(x, u[:,0], label="%d."%(k+1))
    c = l.get_color()
    plt.plot(x[::100],u[::100,0],'x',c=c)

Answer 2

您可以使用scipy.integrate.ode函数，这类似于scipy.integrate.odeint，但允许使用jac参数df / dy或者在给定ODE df / dx的情况下