矩形算法之间的最佳负空间？

Question

给定较大矩形R内的矩形r []，是否有最优的快速算法来确定填充r []之间“negative space”的最小矩形数？

例如，在紫色矩形内部给出这三个蓝色矩形：

我怎样才能快速确定下面绿色的矩形列表（这可能不是最佳配置，因此我的帖子）：

Answer 1

oosterwal所描述的是梯形分解的一种特殊情况，梯形分解是计算几何中一种易于理解的基元，通常用于平面细分中的点位置。它可以在时间O（n log n）内以合理的常数实现。

当矩形处于一般位置时，它将返回“矩形”，其中#green rectangles = 3 *＃蓝色矩形+ 1，这是最佳的。每个蓝色角落的L形邻域必须通过绿色区段在一个方向或另一个方向上切割（一般位置：我们不能对两个蓝色矩形使用相同的区段），因此对于每个蓝色矩形，我们添加 4个绿色边 8个绿色边和4个顶点（4个新边加上4个细分），在此过程中将连接组件的数量减少1。多面体公式的结果是另外3个面（矩形）：

V - E + F = 1 +＃连接组件。

---

示例：

 0123456789abc
0+-----------+
1|           |
2|  +--+     |
3|  |R | +-+ |
4|  +--+ |S| |
5|       | | |
6| +--+  | | |
7| |T |  +-+ |
8| +--+      |
9+-----------+

我们正在从上到下运行扫描线。事件是

# (y, whichside, xmin, xmax)
(2, top, 3, 6)  # R
(3, top, 8, a)  # S
(4, bot, 3, 6)  # R
(6, top, 2, 5)  # T
(7, bot, 8, a)  # S
(8, bot, 2, 5)  # T

我们设置了一个由x排序的二叉搜索树，它保存了部分构造的绿色矩形。我会把它写成一个清单。

# (xmin, xmax, ymin)
(0, c, 0)

现在我们开始处理事件。首先是（2，顶部，3,6）。我们发现它到目前为止嵌套在唯一的绿色矩形内（xmin = 0，xmax = c，ymin = 0，ymax = 2）。 （只要蓝色矩形不相交，蓝色区间总是嵌套。）我们开始两个新的绿色矩形，蓝色矩形的每一侧有一个，搜索树包含

(0, 3, 2) (6, c, 2)

现在我们处理（3，top，8，a）。间隔（8，a）嵌套在内部（6，c），所以我们完成另一个矩形（xmin = 6，xmax = c，ymin = 2，ymax = 3）并再开始两个：

(0, 3, 2) (6, 8, 3) (a, c, 3)

现在我们处理（4，机器人，3,6）。这使得绿色矩形向左和向右结束（xmin = 0，xmax = 3，ymin = 2，ymax = 4）和（xmin = 6，xmax = 8，ymin = 3，ymax = 4）。搜索树是

(0, 8, 4) (a, c, 3)

我认为事情应该在这一点上明确。这是完成的矩形化：

 0123456789abc
0+-----------+
1|           |
2+--+--+-----|
3|  |R |-+-+-|
4+--+--+-|S| |
5|       | | |
6+-+--+--+ | |
7| |T +--+-+-+
8+-+--+------+
9+-----------+

关于处理退化的注释：在具有相同y坐标的顶级事件之前放置底部事件，并禁止具有零区域的矩形。一般来说仍然会有“不必要的”矩形，这是一个更复杂的事件处理器可以避免的（通过一次处理给定y坐标处的所有事件）。