如何使用FFT算法计算N个给定特定点的N次多项式值

Question

这基本上是我在波兰的奥林匹克运动会上给出的任务，现在已经结束了。值应为模M（给定）。它现在，我知道我需要使用FFT算法来解决它在O（Nlog（N））复杂性。

1. N是2的幂（N <= 2 ^ 20）并且（q ^ N mod M）= 1;
2. 值是给定的（q）的1到N的幂。例如 当q = 5且N = 3时，输出应包含：F（q ^ 1 mod M），F（q ^ 2 mod M），F（q ^ 3 mod M）。
3. a1，a2 ... aN在输入中给出（多项式中的常数）

野蛮力量是N ^ 2，那太慢了。我认为radix-2算法非常合适，但是我不知道它会如何在FFT中使用复数来提供解决方案。

Answer 1

您将使用的算法与FFT几乎相同，但您使用的是残差mod M而不是复数。如果您添加 M 为素数且所有 q ^ i 为不同的mod M 的其他约束，那么您将拥有数论变换：

https://www.nayuki.io/page/number-theoretic-transform-integer-dft

但是你并不需要那些额外的限制来解决你的问题。

首先，因为基于1的索引很烦人，所以我会将你的 a [N] 称为 a [0] ，而我是我将把您的 N 输出移动到索引 0 的开头，因为它使下面的讨论变得更加容易。

所以你想要：

out [0] = a [0] + a [1] + a [2] ... a [i] ... a [N-1]

out [1] = a [0] + a [1] * q + a [2] * q ^ 2 ... a [i] * q ^ i ... a [N-1 ] * q ^（N-1）

<强> ...

out [j] = ... + a [i] * q ^（ij）...

请注意，如果你有任何 out [j] 的公式，你可以通过乘以系数来制作 out [j] +1 的公式a [...] by 1，q，q ^ 2，... 因此，如果我们有办法计算偶数输出，我们可以将它应用于修改后的那些用于计算奇数输出的系数。

现在，对于偶数输出， q 的所有幂都是 q ^ 2 的幂，并且它们重复，因为 q ^ N = q ^ 0 mod M 。因此，对于偶数编号的输出，而不是计算：

out [j] = a [0] + a [1] * q ^ j + ... + a [N-1] * q ^（j（N-1））... < /强>

我们可以用一半的系数计算它，如：

out [j] =（a [0] + a [N / 2]）+ ... +（a [i] + a [N / 2 + i]）^（q ^ 2） ^（ij / 2）......

而 只是使用 q * 2 和 N / 2 代替 q 和 N 。

所以，就像（FFT的时间版本中的抽取）一样，你可以通过将 a [...] 转换为两个新的系数集来解决你的问题，每个系数的大小只有一半，然后使用这些系数分别用 q ^ 2 和 M / 2 两次解决较小的问题，分别生成偶数和奇数输出。

我希望有帮助...我知道很难遵循，但如果您已经了解FFT的工作原理，那么您现在可以看到如何将其应用于您的问题。