当使用具有15位精度的浮点运算来计算(20-(sqrt(32397)/9))^(1/3)时，我得到了取消错误，因为(sqrt(32397)/9) = 19.9990740526396。因此20-(sqrt(32397)/9)=0.000925947369386我失去了3位有效数字。在计算(20-(sqrt(32397)/9))^(1/3)知道我丢失了3位有效数字时，这是绝对误差还是相对误差？
答案 0 :(得分：1)
我认为算术是使用IEEE-754基本64位二进制浮点完成的。在这种格式中，有效数字有53位。如果精确的数学结果在格式的有限范围内，那么当将结果舍入到最接近的可表示值时，误差永远不会超过最低有效位的值的1/2（因为可表示数字之间的间距是1单位的最低有效位（ULP），因此两个可表示数字之间的任何点距离其中一个最多1/2个单位）。例如，对于[1024,2048]中的数字，有效数字的最高有效位的值为1024 = 2 10 ，因此最低有效位的值为2 10-52 = 2 -42 ，一半是2 -43 。
32397的平方根接近180，因此它在[128,256]中，因此正确计算它的误差最多为2 7-53 = 2 -46 。现在，不是使用数学sqrt（32397），计算结果是sqrt（32397）+ e0，对于某些错误e0，| e0 | ≤2 -46 。
除以9会产生一个接近20的数字，即[16,32]，因此计算它的误差最多为2 4-53 = 2 -49 。现在，我们没有sqrt（32397）/ 9，而是（sqrt（32397）+ e0）/ 9 + e1，| e1 | ≤2 -49 。
接下来，我们从20减去。因为我们减去的值接近20，所以在这个计算中没有错误 - 数字的两个有效数字是对齐的，所以差异的所有位都在有效数字段内，而且计算没有损失。所以我们的结果是20 - （（sqrt（32397）+ e0）/ 9 + e1）。这是接近.000926。
我们可以将其重写为20-sqrt（32397）/ 9-（e0 / 9-e1）。
最后，我们想要采用它的立方根。某些语言具有立方根函数，例如C cbrt。其他人具有通用取幂函数，例如pow。这些功能的一个问题是它们可能不会返回正确的舍入结果。尽管理论上可以返回最接近精确数学结果的可表示值，但是难以通过正确的舍入和良好的性能来实现这些例程。如此众多的供应商提供的实现几个精度最低的单位，有时甚至更多。对于这个分析，我将忽略这一点，并假设我们已经实现了cbrt正确的舍入。 （另一个问题是，在pow(x, 1./3)中，1./3中存在舍入错误。）
cbrt(20−sqrt(32397)/9)的结果接近.0975。所以它在[2 -4 ，2 -5 ），所以错误正确舍入最多为2 -4-53 = 2 -57 。因此，我们的最终结果是
cbrt（20-sqrt（32397）/ 9-（e0 / 9-e1））+ e2，其中| e2 | ≤2 -57 。
e0 / 9 + e1对结果有什么影响？ x ⅓的导数是⅓x-⅔。在这种情况下，x接近.000926，因此导数约为⅓•.000926 -⅔，约为35.09。所以cbrt（20-sqrt（32397）/ 9-（e0 / 9-e1））+ e2约为cbrt（20-sqrt（32397）/ 9） - 35.09•（e0 / 9-e1））+ e2。 / p>
当e0 = 2 -46 ，e1 = -2 -49 ，e2 = 2 -57时，我们可以看到这种错误的最坏情况。 或他们的否定，所以最差的错误是大约35.09•（2 -46 / 9 + 2 -49 ）+ 2-57，大约是1.1775 •10 -13 。这是错误的绝对约束。
1.1775·10 -13 是计算结果的约572,710 ULP，0.0009259473603862033996847458183765411376953125，因此，错误最多约为格式中53位的19位。我们还可以看到，其中大部分是由于平方根和立方根的放大。这反过来意味着cart或pow中的错误并不重要。
这是一个松散的分析，假设所有错误的最坏情况。 Wolfram Alpha告诉我们答案是0.00092594736038878119971220426211127130143170165573352111194295384299674116115388187388830966295069874661712910887 ...，计算结果与12357.8393 ULP不同。