用递归计算Sierpinski地毯中的方块数

Question

这种方法通过递归步骤产生Sierpinski地毯，如下所示： Sierpinski carpet

我遇到的问题是计算每一步中的平方数（变量“深”），数字将是：

1. 平方数：1
2. 方格数：9
3. 方格数：73
4. 方格数：585
5. 方格数：4681

方法printSquares：

first input

感谢任何帮助。

Answer 1

如果您仔细注意，则为上一步中生成的每个方块添加8个额外的方块。所以，

1. 在第1步中，我们有1 square。
2. 在第2步中，我们有1 + 8^1 (additional squares)。

3. 在第3步中，我们有1 + 8 + 8^2 (64 additional squares)。

   在步骤n中，我们有1 + 8 + ... + 8^(n-1) (8^n-1 additional squares)。

那是什么？一个Geometric Series。

现在，我们总结一下（参见上面链接中的公式）：

此处，第一个词（a）为1，常用比率（r）为8。

1 + 8 + 8 * 8 + ..... + 8^(n-1) = 1*(8^n - 1)/(8-1) = (8^n - 1)/7

让我们测试一下：

1. If depth = 1: Squares = (8^1-1)/7 = 7/7 = 1
2. If depth = 2: Squares = (8^2-1)/7 = 63/7 = 9
3. If depth = 3: Squares = (8^3-1)/7 = 511/7 = 73

计算复杂性：O(1)

递归关系，以防万一：

让函数f表示深度为n的总平方数，然后：

f(n) = f(n-1) + 8^(n-1), f(1) = 1