涉及正常变量

Question

我正在进行一些关于不正确积分的练习，我偶然发现了一个我无法解决的问题。我正在尝试对以下问题使用limit（）函数：

这里N（x）是标准正态变量的累积分布函数。

到目前为止，limit（）函数没有引起任何问题，包括需要应用L'Hôpital规则的问题。但是，我正在努力为这个特定问题获得计算正确的答案，并且无法解决原因。以下代码产生错误答案

from sympy import *

x, y = symbols('x y')
init_printing(use_unicode=False) #Print the answers in unicode characters

cum_distribution = (1/sqrt(2*pi)*(integrate(exp(-y**2/2), (y, -oo, x))))

func = (cum_distribution -(1/2)-(x/sqrt(2*pi)))/(x**3)

limit(func, x, 0)

如果我申请L'Hôpital的规则，我会得到正确的

l_hopital = diff((cum_distribution -(1/2)-(x/sqrt(2*pi))), x)/diff(x**3, x)

limit(l_hopital, x, 0)

我查看了limit（）函数源代码，我的理解是L'Hôpital的规则不适用？在这种情况下，可以使用limit（）函数解决此问题而不应用此规则吗？

Answer 1

目前，只有当erf的参数趋于正无穷大时，才能评估涉及函数erf（称为error function，与正常CDF相关）的限制。其他地方的限制要么没有评估，要么评估不正确。 （Related PR）。这包括限制

limit(-(sqrt(2)*x - sqrt(pi)*erf(sqrt(2)*x/2))/(2*sqrt(pi)*x**3), x, 0)

返回未评估（虽然我不会称此不正确）。作为一种解决方法，您可以使用一个项（常数项）计算此函数的泰勒级数，该项给出正确的限制值：

series(func, x, 0, 1).removeO()

返回-sqrt(2)/(12*sqrt(pi))。

与微积分实践一样，在算法计算方面，L'Hopital的规则不如幂级数技术，SymPy主要依赖于后者。它使用的算法由Dominik Gruntz在On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System中设计和解释。