表明x b的叉积与b垂直

Question

我如何知道A x B的叉积垂直于B.  我有点困惑，因为有3个向量而不是2个。

A = (0, -2, 5)
B = (2, 2, -5)
C= ( 7, -4, -5)

在R2平面上，(a x b) * b = 0证明a x b与b垂直，但我如何在R3上找到它。

Answer 1

所以，经过一些研究，我终于想出如何证明R3上的矢量是相互垂直的。

A= (a1, a2, a3)
B= (b1, b2, b3)
C= (c1, c2, c3)

(AB x AC )* AB = 0
(AB x AC )* AC = 0

Answer 2

我认为您不了解跨产品的作用。它给出了与两个向量正交的向量。

  

叉积a×b定义为垂直的矢量c   （正交）a和b两者，方向由右手给出   规则和幅度等于平行四边形的面积   向量跨度。

你可以通过使用正点性的定义来简单地表明这一点，正交性的定义来自于他们的点积为零。

Answer 3

这样的问题归结为你所采取的定义。

例如，定义交叉产品A x B的一种方法是：

1. R ^ 3是指具有固定方向的三维真实空间。
2. 观察到R ^ 3中的两个线性独立矢量A和B跨越一个平面，因此垂直于它们的每个矢量都位于垂直于该平面的原点的（唯一）线上。
3. 观察到，对于任何正幅度，沿该线的正好有两个矢量具有该幅度。
4. 观察如果我们考虑R ^ 3的有序基础{A，B，C}，其中C是前一步骤中的两个向量之一，那么一个选择匹配R ^ 3的方向而另一个选择匹配不
5. 将A x B定义为上一步的向量C，其中{A，B，C}与R ^ 3的方向匹配。

例如，这就是Wikipedia article：

中定义交叉产品的方式

  

“叉积a×b被定义为与a和b垂直（正交）的矢量c，其中右手规则给出方向，并且幅度等于平行四边形的面积。向量跨度。“

如果这是你的定义，那么实际上没有什么可以证明的，因为定义中已经有“垂直”这个词。

另一个定义可能是这样的：

1. R ^ 3是指具有固定方向的三维真实空间。
2. 对于具有与R ^ 3相同方向的R ^ 3的有序基础{e1，e2，e3}，我们可以将任意两个向量A和B写为A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3和B as B = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3。
3. 观察到，无论我们在步骤2中选择{e1，e2，e3}，矢量C：=（a2 b3 - b2 a3）e1 - （a1 b3 - b3 a1）e2 +（a1 b2） - b1 a2）e3总是一样的。
4. 将上一步中的矢量C作为A x B的定义。

这不是一个很好的定义，因为第3步既是很多工作又是完全黑魔法，但它是你常见的。如果这是你的定义，那么证明A x B垂直于A和B的最佳方式将表明另一个定义为你提供了与此相同的向量，然后是垂直度来免费。

更直接的方法是显示点积为零的向量是垂直的，然后通过做一堆代数来计算点积。这也是一种相当流行的方式，但它基本上没有价值，因为它没有提供任何有关正在发生的事情的见解。