在具有单个子节点的节点上的Bayes Net中的变量消除

Question

如果我们有一个节点X，在贝叶斯网络中有一个小孩Y，为什么将P(Y)表达为P(Y|X)P(X)是正确的？是否遵循X是Y的必要条件？

Answer 1

贝叶斯网络

贝叶斯网络中的边缘意味着该变量具有条件依赖性。如果节点没有通过任何路径连接，则它们在条件上是独立的。

将节点X与子Y结合起来意味着您需要学习：

• 鉴于X为真，Y为真的概率是多少？
• 鉴于X为假，Y为真的概率是多少？

更一般地说：如果X可以有n个值而Y可以有m个值，那么你必须学习n * (m - 1)个值。 - 1存在，因为概率需要总计为1。

实施例

让我们坚持两个变量都是二进制的简单情况，并使用维基百科中的以下内容：

说X是RAIN，Y是SPRINKLER。你想用X（RAIN）来表达Y（SPRINKLER）。

Bayes theorem州：

P(Y|X) = P(X|Y) * P(Y) / P(X)
<=> P(Y) = P(Y | X) * P(X) / P(X | Y)

现在我们将Law of total probability应用于X.这意味着，对于X，我们只需浏览所有可能的值：

P(Y) = P(Y | X = true) * P(X = true) +
       P(Y | X = false) * P(X = false)

我想这就是你所指的。 P(X=true | Y) = 1，因为X=true表示我们已经知道发生了X=true。 Y是什么并不重要。

为了继续我们的案例，我们现在查找表中的值（X是RAIN，Y是SPRINKLER）：

P(Y) = 0.01 * 0.2 + 0.4 * 0.8
     = 0.322