在Numpy / Scipy中逼近具有任意输入和输出维数的向量值多元函数

Question

起始点是m维向量值函数

，

其中输入也是n维向量：

此函数的输入和输出是numpy向量。这个函数计算起来很昂贵，所以我需要一个近似/插值。

是否有numpy / scipy函数返回近似值，例如：泰勒扩展，该函数接近 x 的给定值，任意维 m，n ？

基本上，我要求概括 scipy.interpolate.approximate_taylor_polynomial ，因为我也对近似的二次项感兴趣。

在 scipy.interpolate 中，似乎有一些矢量值 x 选项，但仅适用于标量函数，但只是循环遍历函数的m个组件不是一个选项，因为组件不能单独计算，而且函数的调用次数会超出必要的范围。

如果不存在这样的函数，使用现有方法并避免不必要的函数调用的快速方法也会很棒。

Answer 1

我认为你必须为此推出自己的近似值。这个想法很简单：在一些合理的点上对函数进行采样（至少与泰勒近似中的单项式一样多，但最好更多），并使系数与np.linalg.lstsq拟合。实际的拟合是一行，其余的是准备它。

我将使用n = 3且m = 2的示例，因此有三个变量和二维值。初始设置：

import numpy as np
def f(point):
  x, y, z = point[0], point[1], point[2]
  return np.array([np.exp(x + 2*y + 3*z), np.exp(3*x + 2*y + z)]) 
n = 3
m = 2
scale = 0.1

scale参数的选择与approximate_taylor_polynomial的文档字符串中的注意事项相同（请参阅source）。

下一步是产生积分。对于n个变量，二次拟合涉及1 + n + n*(n+1)/2单项式（一个常数，n个线性，n（n + 1）/ 2个二次）。我使用放置在1 + n + n**2周围的(0, 0, 0)个点，并且有一个或两个非零坐标。特定的选择有点武断;我找不到一个＆＃34;规范＆＃34;多元二次拟合的样本点选择。

points = [np.zeros((n, ))]
points.extend(scale*np.eye(n))
for i in range(n):
    for j in range(n):
        point = np.zeros((n,))
        point[i], point[j] = scale, -scale
        points.append(point)
points = np.array(points)
values = f(points.T).T

数组values包含每个点的函数值。前一行是调用f的唯一位置。下一步，为模型生成单项式，并在这些相同点进行评估。

monomials = [np.zeros((1, n)), np.eye(n)]
for i in range(n):
    for j in range(i, n):
        monom = np.zeros((1, n))
        monom[0, i] += 1
        monom[0, j] += 1
        monomials.append(monom)
monomials = np.concatenate(monomials, axis=0)
monom_values = np.prod(points**monomials[:, None, :], axis=-1).T

让我们回顾一下情况：我们在这里有values函数，形状（13,2），以及形状为单项式（13,10）。这里13是点数，10是单项数。对于values的每一列，lstsq方法将找到最接近它的monomials列的线性组合。这些是我们想要的系数。

coeffs = np.linalg.lstsq(monom_values, values, rcond=None)[0]

让我们看看这些是否有用。系数

[[1.         1.        ]
 [1.01171761 3.03011523]
 [2.01839762 2.01839762]
 [3.03011523 1.01171761]
 [0.50041681 4.53385141]
 [2.00667556 6.04011017]
 [3.02759266 3.02759266]
 [2.00667556 2.00667556]
 [6.04011017 2.00667556]
 [4.53385141 0.50041681]]

和数组monomials，供参考，是

[[0. 0. 0.]
 [1. 0. 0.]
 [0. 1. 0.]
 [0. 0. 1.]
 [2. 0. 0.]
 [1. 1. 0.]
 [1. 0. 1.]
 [0. 2. 0.]
 [0. 1. 1.]
 [0. 0. 2.]]

因此，例如，编码为x**2的单项[2, 0, 0]获取函数[0.50041681 4.53385141]的两个分量的系数f。这是完全合理的，因为它在exp(x + 2*y + 3*z)的泰勒展开中的系数是0.5，而在exp(3*x + 2*y + z)的泰勒展开中它是4.5。

函数f的近似值可以通过

获得

def fFit(point,coeffs,monomials):
    return np.prod(point**monomials[:, None, :], axis=-1).T.dot(coeffs)[0]

testpoint = np.array([0.05,-0.05,0.0])

# true value:
print(f(testpoint)) # output: [ 0.95122942  1.0512711 ]

# approximation:
print(fFit(testpoint,coeffs,monomials)) # output: [ 0.95091704  1.05183692]