内部循环取决于外部循环的复杂性

Question

对于以下伪代码，我想在输入大小n之前计算出操作数，然后再将其放入 Big-O-Notation ：

for i ← 1 to n do
    for j ← 3 to 3i+n do
        // operation 

到目前为止，我认为内部循环等于外部循环3i + n - 2的每次迭代的n操作。产生

n (3i + n - 2) = n^2 - 2n + 3ni

简化为O(n^2)。

但我不确定自己是否走上了正确的轨道，因为我还没有看到任何类似的问题，其中外循环的索引用于内循环。

Answer 1

正确，它位于O(n^2)。更重要的是，它位于Theta(n^2)。

说明

唯一重要的是// operation执行的频率。循环本身的计算，如索引都在Theta(1)，所以我们可以忽略它们。

因此，请计算执行// operation的频率。就像你说的那样n * (3i + n - 2)。

但是，i会发生变化。所以你实际上需要完全写出来：

简化：

Theta(n^2)中显然存在。

正式定义证明

您可以使用正式定义轻松显示。因此，让我们调用函数f。我们有

所以它在O(n^2)。我们有

屈服Omega(n^2)。这意味着f in Theta(n^2)。

我随机选择了常量。你可以让它变得更紧，但你只需要找到它所拥有的那个，所以没关系。

限制定义证明

当然，我们也可以使用限制定义轻松显示它：

哪个是> 0和< inf，所以f in Theta(n^2)（请参阅Wikipedia:Big-O-notation）。

结果表是

• < inf是O(g)
• > 0是Omega(g)
• = 0是o(g)
• = inf是omega(g)。
• > 0 and < inf是Theta(g)

对于限制，我们使用 L'Hôpital的规则（参见Wikipedia）非正式地说：

  

f/g的限制与f'/g'的限制相同，假设限制甚至存在。

注意

分析假设// operation位于Theta(1)，否则您也需要考虑其复杂性，显然。