精度误差，两个数学上相同的表达式在零附近

Question

当绘制两个非常接近零的数学上等效的表达式时，我们得到两个相似的结果，但其中一个曲线有步而不是平滑。

1-cosh(x) == -2*sinh(x/2)^2

现在快速观察一下，步骤的高度确实等于Matlab的精度，即变量eps = 2.2204e-16 = 2^-52

这个图表的名称是“零和”，显然没有引用零和游戏。但显然这只会在添加（或减法）非常接近零的结果时发生。

然而，据我所知，浮点数（或双精度）的计算精度相似，无论计算的大小如何。因此，当一些非常小的东西被操作时，我会发现错误只会蔓延，在这种情况下，较小的数字会四舍五入。

Matlab代码重现了这一点：

x = linspace(-5*10^-8, 5*10^-8, 1001);
y1 = @(x) 1 - cosh(x);
y2 = @(x) -2*(sinh(x/2)).^2;

plot(x,y1(x),'k',x,y2(x),'r')
legend('1-cosh(x)', '-2sinh(x/2)^2')

有人能解释一下这个有用吗？

Answer 1

舍入发生在cosh函数中。如果您绘制它并以相同的比例放大图形，您将看到相同的阶梯效果，但在y轴上以1为中心。

这是因为你不能使用双精度表示那些中间值。