从2个矢量坐标

Question

所有

假设我有两个矢量U和V，分别为2个单位和1个单位长度，如草图所示。矢量U旋转了角度θ。

至少有两种可能的情况，即矢量U可以“向上”或“向下”，如草图所示。

我的问题是，拥有上述数据集是否可以将一个通用公式转换为Matlab以获得M点的坐标？

矢量U和V的长度以及角度θ是任意的。

谢谢！

Answer 1

有一种更有效的解决方案。

U端点的坐标由下式给出：

(U * cos(theta), U * sin(theta))

对于任何向量(x, y)，顺时针垂直方向（即第二个图“向下”）是(y, -x)，而逆时针方向方向是减去这些。因此M的坐标由下式给出：

• 逆时针（“向上”）：(U * cos(theta) - M * sin(theta), U * sin(theta) + M * cos(theta))

• 顺时针（“向下”）：(U * cos(theta) + M * sin(theta), U * sin(theta) - M * cos(theta))

无需拨打arctan或sqrt这些费用非常高昂。您也可以只计算一次sin/cos并将结果用于两个组件。

Answer 2

来自Pythogoras我们知道

  

M = sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）

M和U之间的角度是

  

alpha = arctan（V / U）

那么你就知道M的x坐标和y坐标是：

“up”案例：

  

M =（sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* cos（theta + sign（cosd（theta））* arctan（V / U）），sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* sin（ theta + sign（cosd（theta））* arctan（V / U）））

“向下”案件：

  

M =（sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* cos（theta - sign（cosd（theta））* arctan（V / U）），sqrt（U ^ 2 + V ^ 2）* sin（ theta - sign（cosd（theta））* arctan（V / U）））

另一种计算方法是在x和y方向上添加U和V的长度，并将它们相加。

U的坐标为：

  

（U cos（theta），U sin（theta））

对于这个坐标，我们必须加上/减去V的x和y坐标。沿x和y的V长度为：

  

（abs（sin（theta）），abs（cos（theta））

是否应该从U中添加或减去这些取决于theta。一般来说，我们可以将Vup和Vdown写为

  

Vup =（V * sign（-cos（theta）） sin（theta），V 符号（cos（theta））* cos（theta））

     

Vdown =（V * sign（cos（theta）） sin（theta），V 符号（-cos（theta））* cos（theta））

然后我们总是可以将U添加到Vup和Vdown。最后

  

Mup = U + Vup

     

Mdown = U + Vdown

Answer 3

只是另一个紧凑的解决方案

theta = 30;
L = 2;   % norm of U vector

U = L*[cosd(theta) ; sind(theta)];
Vup   = [-U(2) ;  U(1)] / L;  % Normal vectors, unit length
Vdown = [U(2)  ; -U(1)] / L;

Mup   = U + Vup;     % Two possible values of M
Mdown = U + Vdown;

% Bonus plot
figure
plot([0 U(1)] , [0 U(2)] , 'k-')
hold on; axis equal;
plot([0 Vup(1)]+U(1)   , [0 Vup(2)]+U(2) , 'r-')
plot([0 Vdown(1)]+U(1) , [0 Vdown(2)]+U(2) , 'r-')
text(Mup(1),Mup(2),'M_u_p')
text(Mdown(1),Mdown(2),'M_d_o_w_n')

Answer 4

您可以利用Uinit和Urot的叉积的属性。产品的标志将告知您生成的矢量的方向。

假设原点为O(0,0)，您的初始向量为Uinit(x1,y1)，最终向量为Urot(x2,y2)。此外，M(x,y)也可轻松计算。

如果要过滤最终在'上方'或'下方'Urot上方的旋转矢量M与三角形的上一个方向相比较，您可以采用以下交叉产品： M cross Uinit和M cross Urot。 如果它们的符号相同，那么得到的旋转矢量不会越过OM线，如果符号不同则相反。