粒子动力学

Question

我在3D空间中建模粒子。

{0}粒子在时间t0从具有速度V0的已知位置P0开始。使用其在t-1处的已知先前P-1位置来计算速度。

{1}粒子的目标是在t1以P1的已知速度进入P1。

{..}粒子尽可能快地移动，没有抖动（C1连续）由一组约束限制，这些约束独立地沿x，y和z钳制加速度。沿x，y和z的最大加速度/减速度是已知的并且是Xa，Ya和Za。沿x，y和z的最大加速度变化率由Xr，Yr和Zr定义。

{n}经过一定数量的时间步长后，它会在某个时间（比如tn）以速度Vn到达Pn。

{n + 1}它在tn + 1处移动到Pn + 1.

我遇到的问题是计算从P0到Pn的转换的最小时间，并生成其中间位置和速度方向。第二个目标是平滑加速，而不是应用导致混乱的加速度。

当前方法：

1. 找到从开始P0到结束Pn最长对齐的尺寸{x，y或z}。这将是关键维度，并将决定总时间。这是相当简单的，我可以写一些这样的效果。

2. 在所有维度上平滑插值而没有从P0到Pn的抖动，使得Pn处的速度与预期一致。我不确定，如何处理这个问题。

任何已经执行此操作的输入/物理引擎都将非常有用。这是一个商业项目，我无法依赖具有限制性许可的大型第三方库。

注意：P0和Pn处的粒子几乎没有加速度。

Answer 1

如果我理解正确，您有一个点(P0, V0)，V0 = P0 - P-1和点(Pn, Vn)，Vn = Pn - Pn-1，您想要找到最少的中间点通过调整每个时间步的加速度。

让我们使用ti定义Ai = Vi - Vi-1：abs(Ai) <= mA的加速度。这里，由于问题是与轴无关的，abs是成员方式绝对而不是范数（或向量大小），mA是最大加速度向量，每个维度为正。我们还要考虑Pn > P0（成员）。

由此，我们得到Vi = Vi-1 + Ai，因此Pi = Pi-1 + Vi-1 + Ai。

如果你需要以最快的方式从一个点到另一个点，无论初始速度如何，显而易见的事情是尽可能加速直到达到目标。但是，由于您的问题是离散的并且您的终端速度为Vn，因此使用该方法可能会导致距离太远且终端速度不同。

但是，从结束点开始，您可以反过来做同样的事情。如果你从两个点同时开始，你将在每个维度上使两条路径彼此交叉（不一定在3D中交叉，但是，在每个维度中，两条路径的相对方向在某个“交叉”点处改变）。

我们来看一个一维的例子。 (P0, V0) = (0, -2)和(Pn, Vn) = (35, -1)以及mA = 1 使用Ai = mA的第一条路径如下：

(0, -2) -> (-1, -1) -> (-1, 0) -> (0, 1) -> (2, 2) ->
(5, 3) -> (9, 4) -> (14, 5) -> (20, 6) -> (27, 7) -> ...

第二条路径Ai = -mA但反之亦然：

(35, -1) <- (36, 0) <- (36, 1) <- (35, 2) <- (33, 3) <-
(30, 4) <- (26, 5) <- (21, 6) <- (15, 7) <- ...

您可以看到路径在20到21之间以相同的速度交叉。这为您提供了所需路径中最快的加速和减速部分，但这两个部分没有连接。但是，通过找到相同速度的最近点可以很容易地连接它们;我们称这些点为Pq和Pr。在此处Pq = (20, 6)和Pr = (21, 6)。由于该速度是在当前点和先前点之间计算的，因此请在Pq（示例中为Pq-1或(14, 5)）和点Pr之前取点，然后尝试连接它们

如果Pq >= Pr >= Pq - 2mA，则可以通过Pq-1保持不变来直接连接它们，将Pr与Vr = Pr - Pq-1保持一致。

否则，请Pq-2和Pr-1（Vr-1 = Vr - mA，因为它正好相反）并尝试通过添加中间点来连接它们。由于这些点的速度差为mA，因此您只能搜索具有相同速度Vs的中间点，以便Vq-2 <= Vs <= Vr-1。

如果仍然无法找到解决方案，请执行Pq-3和Pr-2并使用更多中间点重复此过程。

在我拍摄的示例Pq < Pr中，我们必须尝试使用​​Pq-2 = (9, 4)和Pr-1 = (26, 5)。我们可以连接具有3个点的序列，例如(9, 4) -> (13, 4) -> (17, 4) -> (21, 4) -> (26, 5)。

在任何情况下，此方法都会为您提供最少量的中间点，这意味着P0和Pn之间的最快路径。

如果你想减少加加速度，那么你可以忘记先前计算的点，并使用你现在知道的最小点的数进行插值。

Answer 2

在尝试了一些想法之后，我提出了另一种解决方案，如果做得正确，可能比我以前的答案更准确，也可能更快。然而它很复杂，需要相当多的数学，虽然不是很复杂的数学。此外，这是一项正在进行的工作：我仍在调查一些领域。尽管如此，根据我的尝试，它已经产生了非常好的结果。

问题

定义和目标

在这个答案中，p[n]指的是第n个点的位置，v[n]指向其速度，a[n]表示其加速度，j[n]表示其加速度（p[0]指向其加速度加速度的导数）。第n点的速度仅取决于其位置和前一点的位置。同样对于加速度和加速度，但分别用点速度和加速度。

我们分别有p[n]和v[0]的起点和终点，两者都有关联的速度v[n]和n-1。我们的目标是在n之间放置p[n]个点，使其沿着X，Y和Z轴，在这些点的任何一个点上加速度和加加速度的绝对值（和在aMaxX）低于某些限制，分别为aMaxY，aMaxZ和jMaxX加速，jMaxY，jMaxZ和{{ 1}} for jerk。

我们想要找到的是p[i]对所有i ∈ [1; n-1]的值。因为p[i] = p[i-1] + v[i]，这与查找v[i]相同。根据相同的推理，使用v[i] = v[i-1] + a[i]和a[i] = a[i-1] + j[i]，它也与查找a[i]或j[i]相同。

假设{p> a[0]和a[n+1]为零。

观察和简化

由于问题的约束与维度无关，我们可以分别求解三个维度中的每一个，只要在每种情况下获得的点数相同即可。因此，我只会使用aMax和jMax来解决问题的一维版本，而不管轴是什么。

* [WIP] *确定要解决的最坏情况，然后解决其他问题，了解点数。

两个给定点的实际位置无关紧要，重要的是它们之间的相对距离，我们可以将其定义为P = p[n] - p[0]。我们还要定义范围R = [1; n]和R* = [1; n+1]。

由于问题的离散性，我们可以得到以下等式。请注意，∑{i∈R}(x[i])是x[i]的所有i∈R的总和。

Ⓐ ∑{i∈R}(v[i]) = P
Ⓑ ∑{i∈R}(a[i]) = v[n] - v[0]
Ⓧ ∑{i∈R*}(j[i]) = 0

Ⓧ来自a[0] = a[n+1] = 0的假设 从Ⓐ和v[i] = v[i-1] + a[i], i∈R，我们可以推断：

Ⓒ ∑{i∈R}((n+1-i)*a[i]) = P - n*v[0]

按照相同的逻辑，从Ⓑ，Ⓒ和a[i] = a[i-1] + j[i], i∈R，我们可以推断：

Ⓨ ∑{i∈R}((n+1-i)*j[i]) = v[n] - v[0]
Ⓩ ∑{i∈R}(T[n+1-i]*j[i]) = P - n*v[0]

此处，T[n]是第n个三角形数字，由T[n] = n*(n+1)/2定义。

方程式Ⓧ，Ⓨ和Ⓩ是下一部分的相关方法。

方法

为了最小化n，我们可以从较小的n（1,2？）开始，找到解决方案。然后，如果max{i∈R}(abs(a[i])) > aMax或max{i∈R}(abs(j[i])) > jMax，我们可以增加n并重复此过程。

* [WIP] *查找n的下限，以避免从n的小值进行不必要的计算。或者估算n的正确值并通过测试解决方案来确定它。

查找解决方案需要为所有j[i]找到i∈R*的值。我还没有找到j[i]的最佳表单，但定义j*[i]，r[i]和s[i]这样 j[i] = j*[i] + r[i]v[0] + s[i]v[n]
效果很好。

* [WIP] *为j[i]

找到更好的表单

通过这样做，我们将n-1未知数（j[i], i∈R，请注意j[n+1] = -∑{i∈R}(j[i])）转换为3(n-1)更容易找到未知数。以下是我们现在可以从Ⓧ，Ⓨ和dedu中推断出的一些事情。

∑{i∈R*}(r[i]) = 0
∑{i∈R*}(s[i]) = 0
∑{i∈R}((n+1-i)*r[i]) = -1
∑{i∈R}((n+1-i)*s[i]) = 1
∑{i∈R}(T(n+1-i)*r[i]) = -n
∑{i∈R}(T(n+1-i)*s[i]) = 0

提醒一下，这里有Ⓧ，Ⓨ和Ⓩ。

Ⓧ ∑{i∈R*}(j[i]) + j[n+1] = 0
Ⓨ ∑{i∈R}((n+1-i)*j[i]) = v[n] - v[0]
Ⓩ ∑{i∈R}(T[n+1-i]*j[i]) = P - n*v[0]

现在的目标是找到足够的特殊情况来帮助我们确定这些未知数。

特殊情况

v[0] = v[n] = 0

通过玩jerk的值，我观察到将所有j[i], i∈R*作为抛物线的一部分产生了极好的结果，可以最小化加加速度和加速度。虽然它不是最合适的，但我还没有找到更好的效果。

来自抛物线的混蛋值背后的直觉是，如果位置的值要遵循多项式，那么它的度必须至少为5，并且可以是5.如果你想到的话，这更容易理解4次多项式后的速度值。 v[0]和v[n]设置的约束a[0] = a[n+1] = 0以及[0; n]上的积分必须等于P，此多项式必须至少具有一定的度数这适用于连续和双重情况。最后，似乎采用最小程度可以使得更加平滑，并且更容易计算。

这是一个连续情况的例子，其中位置为紫色，速度为蓝色，加速度为黄色，加速度为红色。

如果您想要使用此功能，以下是根据n，p[0]，p[n]，v[0]和{{来定义位置曲线的方法1}}（其他的只是衍生物）。

v[n]

如果a = (-3(v[n]+v[0]) + 6(p[n]-p[0])) / n^5 b = (n(7v[n]+8v[0]) - 15(p[n]-p[0])) / n^4 c = (-n(4v[n]+6v[0]) + 10(p[n]-p[0])) / n^3 p[x] = ax^5 + bx^4 + cx^3 + v[0]x + p[0] ，则v[0] = v[n] = 0。这意味着值j[i] = j*[i], i∈R*遵循二次多项式。因此，我们希望找到j*[i]，α和β，以便Ⓟ持有。

γ

从Ⓧ，Ⓨ和Ⓩ遵循这些等式。

Ⓟ j*[i] = αi^2 + βi + γ, i∈R*

解决此系统会提供α*∑{i∈R*}(i^2) + β*∑{i∈R*}(i) + c*∑{i∈R*}(1) = 0 α*∑{i∈R}((n+1-i)*i^2) + β*∑{i∈R}((n+1-i)*i) + c*∑{i∈R}(n+1-i) = 0 α*∑{i∈R}(T(n+1-i)*i^2) + β*∑{i∈R}(T(n+1-i)*i) + c*∑{i∈R}(T(n+1-i)) = P ，α和β，可与Ⓟ一起使用来计算γ。请注意j*[i], i∈R*，因此只需要完成计算的上半部分。

j*[i] = j*[n+2-i]

如果v[0] = v[n] = 1/n，则v[0] = v[n] = 1/n。这意味着Ⓠ持有。

j[i] = 0, i∈R*

Ⓠ r[i] + s[i] = -n*j[i], i∈R*

v[0] = 0, j[i∈L] = J, j[h] = 0, j[i∈U] = -J和L分别是U的下半部分和上半部分，如果R*是奇数，则h是两者之间的值。换句话说：

n+1

此特殊情况对应于if n is odd: L = [1; (n+1)/2] U = [(n+3)/2; n+1] if n is even: L = [1; n/2] h = n/2+1 U = [n/2+2; n] 和p[0]之间的最大总加速度，同时最小化p[n]。在这里，Ⓩ给出了以下等式。

abs(j[i]), i∈R*

这会∑{i∈R}(T[n+1-i]*j[i]) = P ∑{i∈L}(T[n+1-i])*j[1] + ∑{i∈U}(T[n+1-i])*j[n+1] = P j[1] = P / [ ∑{i∈L}(T[n+1-i]) - ∑{i∈U}(T[n+1-i]) ] ，所以每j[1]。然后，我们可以使用Ⓨ。

计算j[i], i∈R*

将各个部分放在一起

对于v[n]，v[0]和v[n]的某些值，每个特殊情况都会为我们提供形式的关系
P。
通过处理三个特殊情况（假设它们不相似，意味着不给出相同的关系），我们有一个由三个方程组成的系统，一旦求解，就会给出αj*[i] + βr[i] + γs[i] = δ，j*[i]的值和所有r[i]都是s[i]。

因此，我们可以为i∈R*的每个值计算n的值，具体取决于j[i]，v[0]和v[n]。它们可以预先计算，这意味着可以非常快速地测试P的任何值。因此，只要我们将预先计算的值达到{{1 }}