使用堆在O（n + klogk）中以排序顺序输出数组中的最大k个元素？

Question

我正在尝试将算法的运行时间降低到O（n + klogk），但我似乎无法做到这一点。我通过使用最小堆获得O（n + nlogk）。基本算法如下：

1. 构建给定数组的前k个元素（arr [0]到arr [k-1]）的Min Heap MH。 O（k）的

2. 对于每个元素，在第k个元素（arr [k]到arr [n-1]）之后，将它与MH的根进行比较。 O（（N-K）的logK）

3. 最后，MH有k个最大元素，MH的根是第k个最大元素。调用extractMin k次以获得O（klogk）。

这得到O（k +（n-k）Logk + kLogk），等于O（k + nlogk）。但我需要O（n + klogk）。

我不知道如何使用min heap更快地完成它。有什么建议？

Answer 1

使用这种min-heap方法的问题是你必须不断处理整个数组的其余部分，在n前面给你一个log k因子。

通过使用类似于分而治之的策略，有一种方法可以减少实际提取第一个k元素所做的工作快速排序这会以指数方式减少必须处理的数组部分。

1. 选择随机数据元素。
2. 将数组划分为比枢轴更大和更小的数组，就像在快速排序中一样。假设左侧分区中有L，右侧有R。
3. 如果k == L那么我们就完成了：数组中的第一个k元素是最小的。
4. 如果k < L然后从1继续，则仅处理左侧分区。
5. 如果k > L然后从1继续，则使用新值k' = k - L处理正确的分区。

如果上面的描述含糊不清（编辑：它可能是），这个方法是众所周知的，并且有很多来源（SO here's one，带代码）。

假设在平均情况下，枢轴近似地将数组分成两个相等的一半（这也是理想情况），时间复杂度递归关系由T(m) = T(m/2) + O(m)给出，这意味着上述算法<强> O(n)

在此之后，数组的第一个k元素是无序的，因此只需在O(k log k)对它们进行排序。因此，根据需要，总复杂度为O(n + k log k)。