找到最适合n个球体交点的点

Question

我有一系列距离点。我希望找到一个最符合

条件的观点

for (point_i, distance_i) in pointArray:
  abs(point - point_i) = distance_i

我认为这可以通过某种回归或最小二乘法来解决，但我在问题表达方面遇到了麻烦。

如果有人可以提供帮助，我们将不胜感激

Answer 1

您需要定义“最佳”才能回答问题。

您可能想要做的是定义某种错误函数，以确定从给定点开始关闭的程度，然后尝试最小化错误的总和。要使用的错误功能取决于您的实际问题。例如，您可能想要使用（length（point-point_i） - distance） ² 。这将是最小的方块。但也许你并不在乎距离偏离的绝对数量，只关心它们的距离与你预期的距离之间的比例。所以你可以使用（length（point-point_i）/ distance - 1） ² 。也许你得到了一堆传感器的点数和距离。在这种情况下，使用适当的误差函数反映了您测量距离的不确定性。

选择了适当的错误功能后，您需要找到一种优化它的方法。最简单的方法是计算误差函数的梯度，并使用它来跟踪路径查找算法到最低点。如果您的错误函数表现良好，这应该可行，但不是那么快。如果你雄心勃勃，你可以使用多变量Newton-Raphson方法来找到这一点。这会对您的错误函数做出更多假设，并且会有很多工作，但会更快地收敛

。

Answer 2

这个问题通常用线性代数来解决，通过求解“最小二乘法”，最小化误差的平方。

这就是gps接收器如何找到“最适合”来给出坐标。它们将所有不同卫星的“嘈杂”距离集合起来，并找到一组新的距离，这些距离满足单个点，它具有“嘈杂”距离的最小，平方误差。

有许多线性代数库（最主要的是linpack），它们应具有解决这些类型问题的功能。