Question

假设有s_1,s_2,...,s_n个苹果卖家，根据我们购买的金额，价格会有所不同，而卖家j购买i苹果的价格是p（i，j）。找到一种以最低成本准确购买苹果（0 <= A <= kn）的方法是什么？我认为需要构建一个M * n表来开发动态编程算法，但我不确定如何设计它。而且，我认为时间复杂度应该是O（n ^ 2 k ^ 2），我是否正确？

后续问题：如果我们从卖家j购买u个苹果，我们不允许从其邻居（u+2和s_j-1购买s_j+1个或更多苹果），在这种情况下我们应该如何设计算法？

由于

Answer 1

问题1所需的数据结构，对于j中的1..n和k中的0..A，您可以花费的最低金额{ {1}}来自第一批k供应商的苹果，以及您从最后一批供应商购买的数量。计算单个供应商的数据，假设您拥有最后一个，j n O(A) O（A ^ 2 * n）O(A) counts. Do that for每个vendors and you need操作需要time. With some cleverness, you can also make it次操作O（A ^ 2）`记忆。

对于问题2，它变得更加棘手。而不是通过供应商j购买的每个苹果数量的数据结构，它必须是每(j, k)个数据结构，因为它对您购买的苹果数量很重要。这使得它O(A^3*n)时间。（实际上比这更好，因为你从不从任何一个供应商那里买太多苹果。）

Answer 2

这个问题可以很好地转换为常见的背包问题，除了您为每个“项目”设置了许多不同的“价格”和“权重”，即您的p(i,j)功能。

从the Wikipedia page无耻地复制的标准DP算法如下所示：

// Input:
// Values (stored in array v)     -> represented by p function
// Weights (stored in array w)    -> determined by parameter to p
// Number of distinct items (n)   -> different apple suppliers
// Knapsack capacity (W)          -> desired number of apples A

for j from 0 to W do:
    m[0, j] := 0

for i from 1 to n do:
    for j from 0 to W do:
        if w[i] > j then:
            m[i, j] := m[i-1, j]
        else:
            m[i, j] := max(m[i-1, j], m[i-1, j-w[i]] + v[i])

但是有一些不同之处：

您不是在寻找max值，而是在寻找min价格
你无法购买最多 W苹果，但完全 W苹果（否则，最好的策略是不买任何苹果苹果）
因此，没有零行;相反，您的第一行包含以相应的批量价格从供应商1购买的所有苹果
您必须考虑p(i, j)

因此，您可以将算法调整为这样的（使用类似Python的列表理解符号）

for j from 0 to W do:      // apples to buy from seller 1
    m[1, j] := p(1, j)

for i from 2 to n do:      // loop sellers 2 to n
    for j from 0 to W do:  // loop total number of apples to buy
        m[i, j] := min(m[i-1, j-k] + p(k, i) 
                       for k from 0 to j)  // apples bought from seller i

这意味着你有三个嵌套循环，这使得复杂度为O（nA²）。

第二部分有点棘手，我不确定我是否真的理解它。基本上，这意味着对于每个卖家（第一个除外），您只能再购买一个，相同数量，或者比前一个卖家少一个。为此，您必须扩展DP矩阵以具有第三个维度，即从该卖家购买的苹果数量，并将min表达式替换为实际循环，分配给该表的不同单元格。

购买策略的动态规划

2 个答案: