Question

我在c ++中舍入错误时遇到了一些问题。如果我必须计算两个浮点a和b的平均值，那么为什么a+0.5*(b-a)比(a+b)/2更好？我无法理解为什么计算它的两种方式会有任何不同。

Answer 1

[免责声明：此答案采用IEEE 754格式和语义。具体来说，我们假设float是IEEE 754 binary32格式，我们使用默认的round-ties-to-even舍入模式，并且中间表达式不是用扩展精度计算的 - 例如，因为{{ 3}}是0。]

以下是选择a + 0.5 * (b-a)的一个可能原因：如果 a和b非常大并且具有相同的符号，那么中间数量{{1在表达式a + b中可能会溢出，给出无限结果或浮点异常。相反，0.5 * (a + b)在这种情况下不会溢出。

然而，应该权衡以下小优势：

a + 0.5 * (b - a)需要三个浮点运算; a + 0.5 * (b - a)只需要两个。
在0.5 * (a + b) 不溢出的情况下，a + b始终提供正确答案：即，它提供最佳在给定目标类型的可表示性约束的情况下，逼近实际均值。（这不是完全明显，但不难证明：0.5 * (a + b)的幅度大于最小法线的两倍，在这种情况下，总和被正确舍入并乘以{{1确切地说，或者a + b本身是精确计算的，然后乘以0.5被正确舍入。无论哪种方式，两个算术运算中最多只有一个会引入错误。）但{{} 1}}将不总是给出一个正确的舍入均值，实际上可能有数百万的ulps错误。考虑a + b和0.5的情况。然后a + 0.5 * (b - a)提供a = -1.0。正确的均值为b = 1.0 + 2^-23。
如果a + 0.5 * (b - a)和0.0非常大且相反符号而不是相同，则表达式2^-24可以也溢出标志。在这种情况下，a + 0.5 * (b - a)不会溢出。
a（非常轻微）可读性低于b;读者需要花一点时间思考一下它在做什么。

鉴于上述情况，很难支持0.5 * (a + b)应优先使用a + 0.5 * (b - a)的一般性建议。

Answer 2

如果您计算许多数字的平均值，则您的公式是正确的。在这种情况下，您可以执行以下操作：

μ_n = 1 /nΣx_i

但是在这里添加第101个数字时你需要将x ₁₀₁添加到μ₁₀₀，其中μ₁₀₀可能相当于x ₁₀₁，所以你会失去一些精确度。为了避免这个问题，你可以这样：

μ₁₀₁ =μ₁₀₀ + 1 / n（x ₁₀₁ - μ₁₀₀）

如果x _i具有相同的数量级，则此公式要好得多，因为您避免处理两个大数和x _i之间的算术运算。 / p>

您可能需要阅读文章Numerically stable computation of arithmetic means

让我们看看数字在IEEE浮点中的表示方式。考虑C ++ float：

区间[1,2]与步骤2 ^-23一致，因此您可以表示数字1 + n * 2 ^-23，其中n属于{0， ......，2 ²³}。

区间[2 ^j，2 ^{j + 1}]与[1,2]类似，但乘以2 ^j。

要查看精度丢失的原因，您可以运行此程序：

#include <iostream>
#include <iomanip>
int main() {
    float d = pow(2,-23);
    std::cout << d << std::endl;
    std::cout << std::setprecision(8) << d + 1 << std::endl;
    std::cout << std::setprecision(8) << d + 2 << std::endl; // the precision has been lost
    system("pause");
}

输出

1.19209e-07
  1.0000001
  2

计算平均值的舍入误差

2 个答案: