我的意思是，来自definition：
中最不固定的点
fix f是函数f
换句话说：
最不明确的
x，f x = x。
任何 nullary 类型的最小定义值为undefined。这里有一些含糊之处，因为undefined可能意味着＆＃34;会抛出错误＆＃34; （更好）或＆＃34;永远不会终止＆＃34; （更糟糕的）。正如推理和试验所示，fix (+1)和fix pred :: Word似乎都没有接近终止（即使pred 0是一个错误），所以更糟糕的一个＆＃34;永远不会终止＆＃34 ;可能总是在这两种选择之间进行选择。 （可以逃脱fix的是无聊的const 1，但稍后就可以了。）
这不是应用fix的有用方法。
应用fix的有用方法是：
fix (\f x -> if x > 7 then f (x - 1) else x)
- 也就是说，使用fix神奇地生成递归函数。 （这永远不会让我惊讶。）这可以被视为在两个函数之间进行选择：\f x -> f (x - 1)和\_ x -> x，其中一个函数永远不会评估它的第一个绑定变量。这是一个危险的玩具，因为我们仍然可以通过意外地将>转移到<或-到{{1}来获得一个不会终止其域的一半的函数}。
所以，不知何故，这两个函数：
+ - 后者是＆＃34; 最少定义的＆＃34;。如果我们眯着眼睛，我们实际上可以认出我们无聊的同事f1 = \f x -> f (x - 1)
f2 = \_ x -> x
，只是const＆＃39; d。
现在，这是违反直觉的。 flip实际上更具容错能力，因此，从某种意义上说，它是为更多输入值定义的，而不是f2。 （特别是，这是让它逃脱f1）无限循环的原因。具体而言，fix是针对f2加(f, x)的所有输入f1对定义的。沿着同一条线，(undefined, x)是所有一元函数最容错的。
那么，我现在如何理解定义？
问题的一些理由
有this answer nearby这种const 1提供了与此问题中提出的直觉不同的直觉。它还强调，为了充分理解，必须转到关于指称语义的外部教程。
我想得到一个答案，要么支持，要么解释这里提出的直觉的错误，而且，如果领域理论真的落后于评论中提出的草书排序，至少包括一些经验法则，允许（但有限的）但实际应用领域理论。我想看到的问题的一个特定部分是fix能函数是否总能在常数函数和约简函数上分解，这些类的定义是什么？功能是。
我的愿望是建立一个实用的，实用的答案，建立有用且安全的fix编码的递归，并辅以可靠的数学推理。
答案 0 :(得分：6)
在Haskell中，函数是纯粹的。他们接受输入和产量输出。因此，出现了一个自然的问题：那些不会终止的功能呢？
f x = 1 + f x
此函数会将解释器锁定在无限循环中。但在数学上，我们必须说它＆＃34;返回＆＃34;某事，或者它不是一个功能。我们称这是特别的＆＃34;出了问题＆＃34;重视＆＃34;底部＆＃34;值，我们用符号⊥表示它。
因此，从数学上讲，Haskell Int类型包含每个整数，以及一个额外的特殊元素：⊥。我们称之为包含⊥ a＆＃34;提升的类型＆＃34;类型，几乎所有你在Haskell中使用的类型都被解除了。 [1] 事实证明，无限循环并不是调用⊥的唯一方法。我们也可以通过＆＃34;崩溃＆＃34;其他方面的翻译。您将看到的最常见的方法是undefined，这是一个内置函数，可以通过一般错误来暂停程序。
但还有另一个问题。具体来说，停止问题。如果⊥应该表示无限循环和其他不可预测的问题，那么我们无法在Haskell中编写某些函数。例如，以下伪代码是荒谬的。
doesItHalt :: a -> Bool
doesItHalt ⊥ = False
doesItHalt _ = True
这将检查结果值是否为⊥，这将解决暂停问题。显然，我们不能在Haskell中做到这一点。那么我们可以在Haskell中定义哪些函数？我们可以定义那些与定义性排序有关的单调性。我们将⊑定义为此排序。我们说⊥是定义最少的值，因此对于所有⊥ ⊑ x都是x。 ⊑是部分排序，因此无法比较某些元素。在1 ⊑ 1期间，1 ⊑ 2 或 2 ⊑ 1并非如此。在纯英语中，我们说1肯定是低于或等同于1（显然;它们是相同的值），但它并不是＆{有道理地说1或多或少地定义为2。他们只是......不同的价值观。
在Haskell中，我们只能定义与此排序有关的单调函数。因此，对于所有值a和b，如果a ⊑ b然后f a ⊑ f b，我们只能定义函数。我们上面的doesItHalt失败了，例如，⊥ ⊑ "foo"但f ⊥ = False和f "foo" = True。正如我们之前所说，两个完全定义但不相等的值无法比较。所以这个功能无法工作。
简单来说，我们定义这种方式的原因是因为，当我们＆＃34;检查＆＃34;一个使用模式匹配的值，它作为一个断言，必须至少定义它足以让我们看到我们匹配的部分。如果不是，那么我们总是获得⊥，因为程序会崩溃。
值得注意的是，在我们讨论fix之前，有部分定义的＆＃34;＆＃34;值。例如，1 : ⊥（在Haskell中，我们可以将其写为1 : undefined）是一个列表，其第一个元素已定义，但列表的尾部未定义。从某种意义上说，这个值是'＃34;更明确的＆＃34;而不是一个简单的⊥，因为我们至少可以模式匹配并提取第一个值。所以我们会说⊥ ⊑ (1 : ⊥) ⊑ (1 : [])。因此，我们最终得到了＃34;定义的层次结构＆＃34;。
现在，fix表示它返回定义最少的固定点。函数f的固定点是x的值，x = f x。让我们试试看几个例子，看看我们是否可以弄清楚为什么会这样说。让我们定义一个函数
f 0 = 1
f x = x
这个功能有很多固定点。对于除{0}以外的任何x，f x = x。通过我们最少定义的＆＃34;原则，哪一个会被退回？实际上，⊥会f ⊥将返回⊥。如果我们将undefined传递给f，则第一次模式匹配会导致程序崩溃，因为我们正在将未定义的值与0进行比较。因此⊥是一个定点，因为它是最不可能定义的值，它将由fix f返回。在内部，fix通过无限地将函数应用于自身来工作，因此这有一定的意义。应用f (f (f ...))将继续尝试将内部参数与0进行比较，并且永远不会终止。现在让我们尝试不同的功能。
g x = 0
将此函数无限地应用于自身0。事实证明，fix g = 0。为什么在这种情况下返回0而不是⊥？事实证明，⊥无法成为此功能的固定点。 g ⊥ = 0。由于参数从未被检查过，Haskell是一种非严格的语言，g将返回0，即使您传递undefined或error "Oops!"或一些荒谬的无限递归值一个论点。因此，g的仅固定点，即使是提升类型，也是0，因为g 0 = 0。因此，0确实是g中最不明确定义的固定点。
因此，总而言之，我们定义了一个数学框架，以便严格描述某些功能不会终止的概念。 ＆＃34;至少定义＆＃34;这只是一种非常数学上精确的说法，fix不会对他们的论证中总是严格的函数起作用。如果f ⊥将返回⊥，则fix f也将返回⊥。
*大多数答案都是从the wiki page on Denotational Semantics转述并总结出来的。我鼓励阅读该页面以获取更多信息;它的编写对非数学家来说是非常容易理解的，并且非常有用。
[1]一些原始类型未被解除。例如，GHC特定的Int#是一个不包含⊥的整数类型，在某些地方内部使用。