查询是否位于多边形内的查询

Question

我获得 S 的 严格凸多边形 和 Q 要处理的查询。

多边形和查询点的所有点都以（x，y）对给出。多边形的点以逆时针顺序给出。

上述变量受到限制，1<=S<=10^6和1<=Q<=10^5以及1<=|x|,|y|<=10^9。

对于每个查询，如果给定的点位于多边形内，我应该输出Yes;否则，没有。

我尝试使用O（S） 包含测试 （光线投射）并且它为更大的测试用例超时但是也没有通过所有测试用例初步的。

显然，实现并没有覆盖所有边缘情况，我了解了这个问题的特定算法，它可以回答 O（log S）中的每个查询 使用二分搜索，但我无法弄清楚如何从伪代码实现它（第一次进行计算几何）。

任何人都可以向我提供算法，该算法涵盖了所需时间复杂度 （Q log S） 中的所有边缘情况，或者引导我访问实现它的页面或纸张？

Answer 1

您可以执行扫描线算法。 您需要按Q坐标对Q点进行排序。 然后找到具有最低x的S点并考虑沿x轴移动的线。您需要跟踪多边形的两侧。

然后沿着多边形移动，Q设置为上升的x坐标。对于每一点，您现在只需检查它是否在您正在跟踪的两条线之间。

如果Q没有排序，复杂度为O（Q logQ + S），如果Q已经排序，则复杂度为O（Q + S）。

Answer 2

首先，您可以将凸多边形分为左和右部分，从上部点开始，以下部点结束。这两个部分中的点已经按y - 坐标

排序

假设查询点的坐标为(qx, qy)。现在，您可以尝试查找（使用二进制搜索） left 部分中的一个段和 right 部分中与行y = qy相交的段。如果您可以找到这两个细分，并且qx位于x - 细分的坐标之间。与线y = qy的交叉点，它在多边形内部。

查询的复杂性为O(log(S))。

Answer 3

无需排序，凸多边形已经排序！

对于凸多边形，点位置快速简便：使用顶点0和顶点S / 2之间的直线将多边形分成两部分。签名区域测试将告诉您测试点位于哪一侧以及保留哪一半（一半也是凸多边形）。

以递归方式继续，直到S = 3，并与第三方的支撑线进行比较。

O（Log（S））测试总计每个查询。

（数字显示分组的顺序。）