是否有人知道一个简单且可微分的函数,它将3D矢量u = (x, y, z)
转换为与u
正交的另一个矢量。
更确切地说,我正在寻找三个可微函数{f, g, h}
,使得向量u = (x, y, z)
与v = (f(x,y,z), g(x,y,z), h(x,y,z))
正交,v
仅在{{1}时为零是零。
函数u
应该尽可能简单。我更喜欢它们是线性的,但我认为不存在这样的线性函数。低次多项式也很好。
P.S。我找到了这样的函数,但它们不是多项式。例如:
{f, g, h}
它只是(x,y,z)与(exp(x)+ 1,exp(x)+2,exp(x)+3)的叉积。它满足除多项式之外的所有要求。但它们很简单。
答案 0 :(得分:7)
不存在这样的连续功能。这是"hairy ball"定理的结果,它表明在球体上没有定义连续的永不消失的切线场(如果你可以得到F(v)
非零,连续且始终与{{1}正交然后v
可用于在球体上轻松定义连续的永不消失的切线场。)
另一方面,如果功能不需要连续,则问题很容易。我通常做的是选择v-F(v)
的Y和Z分量之间的较大值(绝对值),然后如果Z分量较大则计算v
和v
之间的叉积如果Y分量较大,则为(0, 1, 0)
。这避免了奇点。
答案 1 :(得分:1)
v = (y - z, z - x, x - y)
这似乎符合您的所有条件,但非零u
非零。例如,u = (1, 1, 1)
将其炸毁。我怀疑你可能没有线性解决方案。