Question

给定一个整数数组，找到一组至少一个总和为0的整数。

例如，给定[-1, 8, 6, 7, 2, 1, -2, -5]，算法可能会输出[-1, 6, 2, -2, -5]，因为这是输入数组的一个子集，总和为0.

解决方案必须在多项式时间内运行。

Answer 1

您将很难在多项式时间内执行此操作，因为此问题称为Subset sum problem，并且已知为NP-complete。

如果你确实找到了一个多项式解决方案，你就可以解决“P = NP?”问题，这会让你变得非常富有。

与已知多项式解最接近的是近似值，例如the one listed on Wikipedia，它将尝试以接近但不一定等于0的总和得到答案。

Answer 2

这是一个Subset sum问题，它是NP-Compelete，但它有伪多项式时间算法。见维基。

如果集合中的项目总和与项目数量多项式相关，则可以在多项式中解决问题，来自wiki：

问题可以解决如下使用动态编程。假设序列是
x1, ..., xn
我们希望确定是否有非空子集，总和为0.设N 是负值和的总和 P是正值的总和。定义布尔值函数 Q（i，s）是值（真或假）的
"there is a nonempty subset of x1, ..., xi which sums to s".
因此，问题的解决方案是   Q（n，0）的值。

显然，如果s <，则Q（i，s）=假。 N或s


因此不需要存储或计算这些值。创建一个数组     保持值Q（i，s）为1≤i≤n     和N≤s≤P。


现在可以使用a填充数组   简单的递归。最初，对于N≤s   ≤P，设定
Q(1,s) := (x1 = s).
然后，对于i = 2，...，n，设置
Q(i,s) := Q(i − 1,s) or (xi = s) or Q(i − 1,s − xi)   for N ≤ s ≤ P.
对于每个作业，Q的值   在右边已经知道，   或者是因为它们存储在   表的前一个值为i或   因为Q（i - 1，s - xi）=假，如果s -   xi＆lt; N或s-xi> P.因此，   算术运算总数   是O（n（P - N））。例如，如果全部   对于某些k，值为O（nk），然后   所需时间为O（nk + 2）。

该算法很容易修改为   如果存在，则返回带有和0的子集   是一个。

此解决方案不算作   复杂性理论中的多项式时间   因为P - N不是多项式的   问题的大小，这是   用于表示它的位数。   该算法是多项式的   N和P的值，它们是   它们的位数指数。

更普遍的问题是要求a   子集求和到指定值   （不一定是0）。它可以解决   通过简单的修改   上面的算法。对于这种情况   每个xi都是正的并且受到限制   同样不变，皮辛格发现了一个线性的   时间算法。[2]

Answer 3

众所周知Subset sum problem NP完全问题。

如果你对算法很感兴趣，那么很可能你是数学爱好者，我建议你看看

Subset Sum problem

在这里你可以找到它的算法

Polynomial time approximation algorithm

初始化列表S以包含一个元素0。

对于从1到N的每个i

让T为由xi + y组成的列表，   对于所有人在S
     让你成为T和S的联盟       排序U

使S为空

让y成为U
的最小元素
将y添加到S

表示U in的每个元素z   增加订单//修剪列表   消除数字         彼此靠近        如果y <（1-c / N）z，则设置y = z并将z加到S

如果S包含（1-c）s和s之间的数字，则输出yes，否则不输出

查找数组中的和等于零

3 个答案: