在扭曲的矩形网格中进行测试/查找交叉点

Question

我有一个矩形网格，表示为二维点的二维数组。这样的东西（C＃-inspired伪代码）：

Point2D[,] mesh = CreateSampleMesh();
mesh.Plot();

重要特征是：

1. 网格在拓扑上是矩形的，但在图像显示时几何上是“不规则的”;
2. 每一行的X坐标和每列的Y坐标是单调的（也就是说，它不是“反向”）;
3. 每个矩形都是凸的（项目2的必然结果，我猜）;

我的问题是：考虑到候选人Point2D，我该如何找到“ 矩形“它在里面，如果有的话？这是我建议的方法签名：

GridPosition position = GetIndexOfBottomLeftRectangleContaining(Point2D candidatePoint);
if (position != null)
{
    int pi = Position.I;
    int pj = Positino.J;
}

Answer 1

您可能会发现查找point is inside a convex polygon or not是否有用的算法。请注意，第二个答案提出了一种方法，它在2D中花费四个点产品，假设乘法需要恒定时间，意味着时间复杂度为4 * O（D）= 4 * O（2）= O（1）。

现在你可能会疯狂并且并行检查你所拥有的所有多边形，当然这不是O（N ² ），但可能仍然是过度杀伤。

因此，您需要使用您喜欢的任何数据结构对空间进行分区，其中每个分区都包含一个多边形。

A quadtree：

  

是每个内部节点都有的树数据结构   正是四个孩子。四叉树是二维模拟的   八叉树并且最常用于划分二维空间   通过递归将其细分为四个象限或区域。

在这种情况下，

似乎派上用场，每个叶子都包含一个多边形（或者你选择的几个多边形）。

一旦查询落在一片叶子上，你就会去检查这个点是否在这片叶子的多边形内并给出答案。

特别是，我会尝试Region Quadtree，它“通过将区域分解为四个相等的象限，子点，等等来表示二维空间的分区，每个叶节点包含对应于特定的数据子区域“。

查询时间是对数的，或者在最坏的情况下是线性的，因为您可以阅读这些slides。

Answer 2

你很幸运拥有单调链（折线），它们可以对飞机进行分类。

首先，设计一个程序，告诉您是否在垂直链的左侧或右侧。为此，您可以找到垂直面向点的线段，并绘制一条水平线。交叉点告诉您是左还是右。这需要在节点纵坐标之间进行二分法搜索。

使用此程序查找两侧最近的两条链，它们定义了一个点所在的条纹。现在，通过与水平边缘进行比较，此条纹中的最终二分法搜索将告诉您确切的图块。

对于N²节点阵列，这需要时间与Log²N成比例，并且不需要额外的数据结构！

Answer 3

您可以使用某种2D二进制搜索。

示例：如果您有一个点p（px，py）并且您的网格存储在5x5数组＆＃39;网格[i，j]＆＃39;中，您将从i = 5/2开始= 3和j = 5/2 = 3。以下是一些用于说明的基本示例代码：

int i = 3;
int j = 3;
int iOld = i
int jOld = j;
do {
    iOld = i
    jOld = j;

    Point m = mesh[i,j]; 
    //Compare p with m: 
    if (p.x > m.x) {
        i = (i+5)/2;
    } else {
        i = (i/2)/2;
    }
    if (p.y > m.y) {
        j = (j+5)/2;
    } else {
        j = (j/2)/2;
    }
} while (i != iOld && j != jOld);

此代码仅供参考！当您靠近节点时，您可能必须验证i和j是否正确计算，并且它们不会振荡，否则退出条件可能永远不会成立。 否则，这应该很快找到你在网格中的点。

编辑：这种方法假定失真是良性的，这意味着节点不扭曲，使得它们移动到不同的方格（这要求网格线相交）。如果网格线可以交叉，那么这种方法不会起作用。