Question

假设：

F（F（n））= n

F（F（n + 2）+ 2）= n

F（0）= 1

其中n是非负整数。 F（129）=？

我们如何以编程方式解决这类函数方程？我选择的编程语言是Python。

Answer 1

功能方程，用它们最一般的术语来说，真的很难。几乎每个国际数学竞赛都有其中之一，通常看起来像你写的一样无辜，这绝非巧合。解决它们的方法各不相同，从简单归纳到无限维Banach空间分析，解决它们的通用编程方法是不太可能的。

在这种特殊情况下，这是一个直截了当的方法：

假设对于任何两个整数m，n，我们有F（m）= F（n）= k。但是m = F（F（m））= F（k）= F（F（n））= n：因此m = n并且F在两个不同的输入上从不采用相同的值。但我们知道F（F（n））= n = F（F（n + 2）+2） - 因此F（n）和F（n + 2）+2必须是相同的数字 - 也就是说，F（n + 2）== F（n）-2 == F（n-2）-4 = .......现在我们知道F（0）= 1，所以F（1）= F（F（0））= 0.但是F（129）= F（127） - 2 = F（125） - 4 = ... = F（1） - 128 = -128

所以有你的解决方案 - 但是不存在用于解决任何变化的机械算法。

Answer 2

根据@ivancho和@aaronasterling的说法，我已经能够编写这个应该可以解决问题的程序了：

def f(n):
    if not n:
        return 1
    else:
        return f(n-2)-2

>>> f(4)
-3

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以编程方式求解函数方程

2 个答案: