从强力解决方案中导出LCS的子解决方案表

Question

我正在使用动态编程解决LCS问题。在没有查看解决方案的情况下，我自己无法获得DP解决方案。

我目前的理由是给出两个字符串，P和Q：

• 我们可以枚举P的所有子序列，其大小为2^n。
• 我们还可以枚举Q的所有子序列，其大小为2^m。

因此，如果我们要检查共享子序列，则运行时间为O(2^n * 2^m)或O(2^(n+m))。

我不明白我们如何从这种强力解决方案转变为动态编程解决方案。推导子解决方案表的逻辑是什么？

我不知道如何从这一点直接跳到DP的子解决方案表。这样做的逻辑是什么？

我知道我们需要识别重叠的子解决方案。但是我无法找到一个很好的解释来识别它然后进入子解决方案表。

如果这个问题有意义，请告诉我。

Answer 1

这是为这种算法创造魔力的基本思想。

考虑2个字符串S1和S2，

S1 = c1,c2,c3,........cm, length = m

和

S2 = b1,b2,b3,........bn, length = n

假设你有一个函数LCS(arg1,arg2)，其中

arg1 = S1,m , string S1 of length of m

和

arg2 = S2，n，长度为n的字符串S2

和LCS(arg1,arg2)将为我们提供2个参数的最长公共子序列的长度。

现在假设两个字符串的最后一个字符相同。

bn = cm

假设没有其他两个字符相同。这意味着：

LCS(arg1,arg2) = 1(last character) + 0(remaining strings)

现在，如果你已经理解了上面的等式，那么很明显，如果没有其他两个字符匹配，我们确实有匹配的东西（在剩余的字符串中），那么：

LCS(arg1,arg2) = 1(last character) + LCS(arg1 - cm,arg2 - bn)(Remaining strings)

但如果最后两个字符不匹配，那么肯定我们必须考虑每个字符串中的倒数第二个字符，这就是为什么我们在< strong>最后2个字符不匹配：

LCS(arg1,arg2) = max(LCS(arg1 - cm,arg2) , LCS(arg1 ,arg2 - bn))