Question

我试图理解以下算法的时间复杂度（Big-O），它找到x使得g^x = y (mod p)（即找到y的离散对数，基数为g模p ）。

这是伪代码：

discreteLogarithm(y, g, p)
    y := y mod p
    a := g
    x := 1

    until a = y
        a := (a * g) mod p
        x++

    return x
end

我知道这种方法的时间复杂度是指数p 中的二进制数字 - 但这意味着什么呢？为什么它依赖于p？

我知道复杂性是由循环次数（until a = y）决定的，但p在哪里，这是关于二进制数字的？

Answer 1

运行时间取决于g mod p的order。最坏的情况是阶数（p-1）/ 2，即O（p）。因此运行时间是O（p）模乘。这里的关键是p有log p位，其中我使用'log'来表示基数2对数。由于p = 2 ^（log p） - 数学同一性 - 我们看到运行时间是p的位数的指数。为了更清楚，让我们使用b = log p来表示位数。最坏的情况是运行时间为O（2 ^ b）模乘。模数乘法需要O（b ^ 2）时间，因此完整运行时间为O（2 ^ b * b ^ 2）时间。 2 ^ b是主导词。

根据您的特定p和g，订单可能比p小得多。然而，分析数理论中的一些启发式算法表明，平均而言，它是阶数p。

编辑：如果您不熟悉群论中的“秩序”概念，这里有简要说明。如果你继续将g乘以自己的mod p，它最终会变为1.顺序是在发生之前的乘法次数。

查找离散对数（暴力）

1 个答案: