Question

今天，在练习一些算法问题时，我发现了一个有趣的问题。问题是

你必须将1除以Form（一个缺失值n）为两等   这两半的总和相等的一半。

示例：

如果x和n = 7

解决方案将是x = 4和{7, 5}

我可以用蛮力方法回答它，但我想要一个有效的解决方案任何人都可以帮助我吗？

Answer 1

如果没有x的元素1→N的总和是奇数，那么就没有解。

否则，您可以在O（N）中找到平衡选择的解决方案。

连续4次

首先让我们考虑四个连续数字的任何序列可以分成两组，并给出相等的总和：

[x，x + 1，x + 2，x + 3]→[x + 3，x]; [x + 2，x + 1]

因此选择它们并将它们放入集合中A B B A平衡集合A和B.

4

此外，当我们在省略的值上有两对夫妻时，它可以拥有类似的属性：

[x-2，x-1，x + 1，x + 2]→[x + 2，x-2]; [x + 1，x-1]

所以仍然是A B B A

此时我们可以解决以下问题：

我们有一个四元组：我们将其拆分为案例1
我们有2个数字，x和其他2个数字：我们按案例2分割

好吧，但可能会发生我们有3个数字，x和其他3个数字或其他条件。我们怎么能以平衡的方式选择呢？

+2 Gap

如果我们再看一下x：

之间的差距

[x-1，x + 1]

我们可以注意到，如果我们将两个邻居分成两个独立的集合，我们必须平衡集合上的+2和更大的总和。

平衡尾巴

我们可以使用序列的最后四个数字来完成此操作：

[4 3 2 1]→[4,2]; [3,1]→6; 4

最后我们必须考虑到我们可能没有其中一个，所以让我们构建另一个案例：

[3 2 1]→[2]; [3,1]→2; 4

让我们也意识到我们可以在A B A B（或B A B A）模式的序列的另一端做同样的事情 - 如果我们的+2代表B（或A）;

4跨+

令人惊讶的是，如果我们跳h（奇数！）数字仍然有4个：

[x + 3，x + 2，x-2，x-3]→[x + 3，x-3]; [x + 2，x-2]

因此，探索数组我们可以逐步绘制解决方案

一个例子：

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

它的总和是偶数，因此x只能是偶数：

x = 10
11 - 9 | 8 7 6 5 | 4 3 2 1 → (+2 gap - on A) (4 in a row) (balancing tail)
 A   B   A B B A   B A B A

x = 8
11 10 | 9 - 7 | 6 5 | 4 3 2 1 → (4 across +) (+2 gap - on A) (balancing tail)
 a  b   A   B | b a | B A B A

x = 6
11 10 9 8 | 7 - 5 | 4 3 2 1 → (4 in a row) (+2 gap - on A) (balancing tail)
 A  B B A   A   B   A B B B

x = 4 we have no balancing tail - we have to do that with head
11 10 9 8 | 7 6 | 5 - 3 | 2 1 → (balancing head) (4 across +) (+2 gap)
 A  B A B   A B | b   a | B A

x = 2
11 10 9 8 | 7 6 5 4 | 3 - 1 → (balancing head) (4 in a row) (+2 gap)
 A  B A B   A B B A   B   A

有趣的是注意到解决方案的对称性。另一个例子。

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

它是奇数的总和，所以x只能是一个奇数，现在元素的数量是奇数。

x = 9
10 - 8 | 7 6 5 4 | 3 2 1 → (+2 gap - on A) (4 in a row) (balancing tail)
 A   B   A B B A   B A B

x = 7
10 9 | 8 - 6 | 5 4 | 3 2 1 → (4 across +) (+2 gap - on A) (balancing tail)
 a b | A   B | b a   B A B

x = 5
10 9 8 7 | 6 - 4 | 3 2 1 → (4 in a row) (+2 gap - on A) (balancing tail)
 A B B A   A   B   B A B

x = 3
10 9 8 7 | 6 5 | 4 - 2 | 1 → (balancing head) (4 across + virtual 0) (+2 gap)
 A B A B   B A | a   b | A

x = 1
10 9 8 7 | 6 5 4 3 | 2 → (balancing head) (4 in a row) (+2 gap virtual 0)
 A B A B   A B B A   B

最后值得注意的是，只要我们有一个完整的平衡段（即 4连续或4对），我们就可以从A切换到B.

搞笑说 - 但要求总和（[1 ... N] -x）的财产是平均的，如果你自己尝试就会使案件多余。

我很确定这个算法可以推广 - 我很快就会提供一个修订版本。

Answer 2

通过使用预处理步骤包装标准subset sum problem动态编程，可以解决此问题。这些步骤是O（1）com

算法（n，x）：

sum = n *（n + 1）/ 2
neededSum = sum - x
if（neededSum％2！= 0）：return 0
创建数组[1..n]并从中删除x
调用标准子集（arr，0，neededSum / 2，[]）

子集算法的工作python实现 - 打印所有子集如下。

def subsetsum(arr, i, sum, ss):
    if i >= len(arr):
        if sum == 0:
            print ss
            return 1
        else:
            return 0

    ss1 = ss[:]
    count = subsetsum(arr, i + 1, sum, ss1)
    ss1.append(arr[i])
    count += subsetsum(arr, i + 1, sum - arr[i], ss1)
    return count


arr = [1, 2, 3, 10, 5, 7]
sum = 14
a = []
print subsetsum(arr, 0, sum, a)

希望它有所帮助！

使用约束拆分子集

2 个答案:

连续4次

4

+2 Gap

平衡尾巴

4跨+