在未排序的数组中查找多个子数组的中位数

Question

假设给你一个未排序的整数数组S和一个T范围列表，返回每个范围的中位数列表。

例如，S = [3,6,1,5,0,0,1，-2]，T = [[1,3]，[0,5]，[4,4]]。返回[5,2,0]。

是否有比在每个范围内运行Median of Medians更好的方法？我们可以以某种方式预先计算/缓存结果吗？

Answer 1

让我向您介绍一个名为 Wavelet Tree的有趣数据结构：

通过查看整数的位串表示并递归地将它们一分为二来构建它：

首先将整数分为具有最高有效位（MSB）0和MSB 1的整数。但是，您将MSB以原始顺序存储在位向量中。然后，对于这些整数子集中的每一个，忽略MSB并递归重复此构造以获得下一个最重要的位。

如果你重复这个到最不重要的位，你会得到一个像这样的树结构（注意索引只是为了说明，你应该只存储位向量）：

您可以很容易地看到此数据结构的构造需要O（n log N）时间，其中n是整数，N是它们的最大值。

小波树具有很好的属性，它们同时表示原始序列以及它们的排序对应物：

• 如果您读取最顶层的位向量，则会获得输入序列的MSB。要重建条目的下一位，您可以在查看根的左子项中的位向量（如果MSB为0）或右子项（如果MSB为1）之间切换。对于以下位，您可以递归地继续。

• 如果从左到右读取叶节点，则会得到排序序列。

要有效地使用小波树，您需要在位向量上进行两项基本操作：

• rank1（k）告诉你在位向量中的 k 位置之前有多少1， rank0 对于0来说是相同的< / LI>
• select1（k）告诉你bitvector中 k th 1的索引， select0 为0s做同样的事情

请注意，有些位向量表示只需要o（n）（小o）位的额外存储空间来实现O（1）

中的这些操作

您可以按如下方式使用它们：

• 如果您正在查看上面序列中的前7个，它有索引3.如果您现在想知道它在右子节点中有哪个索引，您只需调用 rank1（3） 在根bitvector上得到2，这正是右孩子中前7个的索引

• 如果您在包含4544的孩子，并想知道包含46754476的父节点中第二个4（带索引2）的位置，则调用 select0（2） on父的bitvector并得到索引5.

现在如何用这个实现范围中值查询？您需要做的最重要的实现是找到 k 大小范围的中位数等同于选择 k / 2 元素。

该算法的基本思想类似于Quickselect：将元素范围平分并仅递归到包含您要查找的元素的范围内。

假设我们想要找到范围的中位数，从第二个2（包括）开始到结束在1（不包括）。 这些是7个元素，因此中值在该范围内具有等级4（第四最小元素）。 现在在该范围的开头和结尾的根位向量中使用 rank0 / 1 调用，我们在根的子节点中找到相应的范围：

如您所见，左边距（仅包含较小的元素）只有3个元素，因此具有等级4的元素必须包含在根的右子节点中。我们现在可以递归搜索该右子中具有等级4 - 3 = 1的元素。通过以递归方式递减小波树直到到达叶子，您可以因此识别每个小波树级别仅有两个秩操作（àO（1）时间）的中值，因此整个范围中值查询需要O（log N）时间，其中N是输入序列中的最大数字。

如果您想查看这些Wavelet树的实际实现，请查看实现上述bitvectors和不同WT变体的Succinct Data Structures Library (SDSL)。