在一个大矩阵中找到许多子矩阵的总和？

Question

对于2D矩阵A，我们希望找到从(x1,y1)到(x2, y2)坐标的子矩阵之和。

我遇到了查找子矩阵总和的explanation，我可以按照解决方案的逻辑，直到他们执行以下计算的最后一部分：

sum[x2][y2] + sum[x1][y1] - sum[x1][y2] - sum[x2][y1]

这个想法是他们计算一个矩阵，其中每个点代表矩阵的总和，所有这些都参考原始的x1，y1是（0,0）。然后使用几何方法，他们得到某个子数组的总和。我不能得到的是几何部分。它是如何发挥作用的？为了完整起见，我将绘制数组。

假设我们有A：

1  2  3


4  5  6


7  8  9

例如，假设在找到矩阵总和之后我们有以下内容：

1  3  6


5  12  21


12  27  45

假设我想找到从（1,1）到（2,2）的子数组的总和，其中（0,0）是总和10的原点。然后根据公式，我们有总和

A[2][2] + A[1][1] - A[1][2] - A[2][1]

给出12 + 45 - 27 - 21 = 9。

哪个不是正确答案，28？

这个答案有问题吗？

Answer 1

在计算您提到的总和后，sum[x][y]将代表(0,0) to (x,y)中矩形的总和。

现在我们想要计算来自(x1,y1) to (x2,y2)的子阵列的总和。我们从sum[x2][y2]开始。我们需要减去sum[x1-1][y2]和sum[x2][y1-1]，因为它们不属于所需的矩形。但是，请注意红色矩形被减去两次，因此我们添加sum[x1-1][y1-1]