Question

我有一个对称m - by - m矩阵A。每个元素的值介于0和1之间。我现在要选择n A的{{1}}行/列，形成n - by - n子矩阵{{ 1}}。

选择这些元素的标准是，B的所有元素的总和必须是B - n个子矩阵n中的最小值。 1}}。

例如，假设A是一个4乘4的矩阵：

并且A = [0 0.5 1 0; 0.5 0 0.5 0; 1 0.5 1 1; 0 0 1 0.5]设置为3.然后，最好的n是B的第一，第二和第四行/列：

这些元素的总和为0 + 0.5 + 0 + 0.5 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0.5 = 1.5，这小于另一个其他可能的3乘3子矩阵（例如使用第一个，第三和第四行/列）。

我该怎么做？

这部分是数学问题，部分是Matlab问题。任何帮助都会很棒！

Answer 1

执行以下操作：

m = size(A,1);
n=3;
sub = nchoosek(1:m,n); % (numCombinations x n)
subR = permute(sub,[2,3,1]); % (n x 1 x numCombinations), row indices
subC = permute(sub,[3,2,1]); % (1 x n x numCombinations), column indices
lin = bsxfun(@plus,subR,m*(subC-1)); % (n x n x numCombinations), linear indices
allB = A(lin); % (n x n x numCombinations), all possible Bs
sumB = sum(sum(allB,1),2); % (1 x 1 x numCombinations), sum of Bs
sumB = squeeze(sumB); % (numCombinations x 1), sum of Bs
[minB,minBInd] = min(sumB);
fprintf('Indices for minimum B: %s\n',mat2str(sub(minBInd,:)))
fprintf('Minimum B: %s (Sum: %g)\n',mat2str(allB(:,:,minBInd)),minB)

这仅查找行索引与列索引相同的子矩阵，并且不一定是连续的。这就是我理解这个问题的方式。

Answer 2

这有点蛮力，但应该有效

A = [0 0.5 1 0; 0.5 0 0.5 0; 1 0.5 1 1; 0 0 1 0.5];

sizeA = size(A,1);
size_sub=3;


idx_combs = nchoosek(1:sizeA, size_sub);

for ii=1:size(idx_combs,1)
    sub_temp = A(idx_combs(ii,:),:);
    sub = sub_temp(:,idx_combs(ii,:));

    sum_temp = sum(sub);
    sums(ii) = sum(sum_temp);
end

[min_set, idx] = min(sums);

sub_temp = A(idx_combs(idx,:),:);
sub = sub_temp(:,idx_combs(idx,:))

Answer 3

尝试将矩阵A与较小的矩阵M进行卷积。例如，如果您有兴趣找到3x3子矩阵，那么让M为ones(3)。此代码显示了它的工作原理。

A = toeplitz(10:-1:1) % Create a to eplitz matrix (example matrix)
m = 3; % Submatrix size
mC = ceil(m/2); % Distance to center of submatrix
M = ones(m);
Aconv = conv2(A,M); % Do the convolution.
[~,minColIdx] = min(min(Aconv(1+mC:end-mC,1+mC:end-mC))); % Find column center with smallest sum
[~,minRowIdx] = min(min(Aconv(1+mC:end-mC,minColIdx+mC),[],2)); % Find row center with smlest sum
minRowIdx = minRowIdx+mC-1 % Convoluted matrix is larger than A
minColIdx = minColIdx+mC-1 % Convoluted matrix is larger than A
range = -mC+1:mC-1
B = A(minRowIdx+range, minColIdx+range)

这个想法是模仿一个冷杉过滤器y(n) = 1*x(n-1)+1*x(n)+1*x(n+1)。现在它只找到第一个最小的矩阵。注意+1调整，因为第一个矩阵元素是1.然后注意下面的恢复。

寻找具有最小元素和的子矩阵

3 个答案: