使用端点和凸起距离绘制圆弧。在OpenCV或PIL中

Question

使用脚本将dxf转换为png，我需要绘制只有三个参数的弧，即弧的起点，弧的终点和凸起距离。

我已经检查了OpenCV和PIL两者，并且它们需要开始和结束角度来绘制此弧。我可以使用某些几何图形找出那些角度，但想知道是否有任何其他解决方案，我错过了。

Answer 1

您有三条信息定义圆弧：圆上的两个点（定义该圆的和弦）和凸起距离（称为 sagitta 圆弧）。

见下图：

这里 s 是sagitta， l 是和弦长度的一半， r 当然是半径。其他重要的非标记位置是弦与圆相交的点，sagitta与圆相交的点，以及半径延伸的圆的中心。

对于OpenCV的ellipse()函数，我们将使用以下原型：

cv2.ellipse(img, center, axes, angle, startAngle, endAngle, color[, thickness[, lineType[, shift]]]) → img

其中大部分参数由以下图形描述：

由于我们绘制的是圆弧而非椭圆弧，因此主轴/副轴的尺寸相同，旋转时没有差异，因此轴只有(radius, radius)和angle应该为零以简化。然后我们需要的唯一参数是圆的中心，半径，以及绘制的起始角度和结束角度，对应于和弦的点。角度很容易计算（它们只是圆上的一些角度）。所以最终我们需要找到圆的半径和中心。

找到半径和中心与找到圆的方程相同，因此有很多方法可以做到。但是由于我们在这里进行编程，IMO最简单的方法就是在sagitta接触圆圈的位置定义圆圈上的第三个点，然后从这三个点求解圆圈。

首先，我们需要获得和弦的中点，获得与该中点的垂直线，并将其延伸到sagitta的长度以达到第三点，但这很容易。我将开始给出pt1 = (x1, y1)和pt2 = (x2, y2)作为圆圈上的两个点，sagitta是'凸出深度'（即您拥有的参数）：

# extract point coordinates
x1, y1 = pt1
x2, y2 = pt2

# find normal from midpoint, follow by length sagitta
n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))

if np.isclose(n_dist, 0):
    # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
    print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

n = n/n_dist
x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n

现在我们已经获得了第三点。请注意，sagitta只是一些长度，所以它可以向任一方向移动 - 如果sagitta为负，它将从和弦向一个方向移动，如果是正向，则向另一个方向移动。不确定这是否是给你的距离。

然后我们可以简单地use determinants to solve for the radius and center。

# calculate the circle from three points
# see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
A = np.array([
    [x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
    [x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
    [x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])

if np.isclose(M11, 0):
    # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
    print('Error: The third point is collinear.')

cx = 0.5 * M12/M11
cy = -0.5 * M13/M11
radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)

最后，由于我们需要使用OpenCV绘制椭圆的起始和结束角度，我们可以使用atan2()来获取从中心到初始点的角度：

# calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi

所以我将这一切打包成一个函数：

def convert_arc(pt1, pt2, sagitta):

    # extract point coordinates
    x1, y1 = pt1
    x2, y2 = pt2

    # find normal from midpoint, follow by length sagitta
    n = np.array([y2 - y1, x1 - x2])
    n_dist = np.sqrt(np.sum(n**2))

    if np.isclose(n_dist, 0):
        # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
        print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

    n = n/n_dist
    x3, y3 = (np.array(pt1) + np.array(pt2))/2 + sagitta * n

    # calculate the circle from three points
    # see https://math.stackexchange.com/a/1460096/246399
    A = np.array([
        [x1**2 + y1**2, x1, y1, 1],
        [x2**2 + y2**2, x2, y2, 1],
        [x3**2 + y3**2, x3, y3, 1]])
    M11 = np.linalg.det(A[:, (1, 2, 3)])
    M12 = np.linalg.det(A[:, (0, 2, 3)])
    M13 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 3)])
    M14 = np.linalg.det(A[:, (0, 1, 2)])

    if np.isclose(M11, 0):
        # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
        print('Error: The third point is collinear.')

    cx = 0.5 * M12/M11
    cy = -0.5 * M13/M11
    radius = np.sqrt(cx**2 + cy**2 + M14/M11)

    # calculate angles of pt1 and pt2 from center of circle
    pt1_angle = 180*np.arctan2(y1 - cy, x1 - cx)/np.pi
    pt2_angle = 180*np.arctan2(y2 - cy, x2 - cx)/np.pi

    return (cx, cy), radius, pt1_angle, pt2_angle

使用这些值，您可以使用OpenCV的ellipse()函数创建弧。但是，这些都是浮点值。 ellipse()确实允许您使用shift参数绘制浮点值，但如果您不熟悉它，则有点奇怪，所以我们可以从this answer借用解决方案来定义功能

def draw_ellipse(
        img, center, axes, angle,
        startAngle, endAngle, color,
        thickness=1, lineType=cv2.LINE_AA, shift=10):
    # uses the shift to accurately get sub-pixel resolution for arc
    # taken from https://stackoverflow.com/a/44892317/5087436
    center = (
        int(round(center[0] * 2**shift)),
        int(round(center[1] * 2**shift))
    )
    axes = (
        int(round(axes[0] * 2**shift)),
        int(round(axes[1] * 2**shift))
    )
    return cv2.ellipse(
        img, center, axes, angle,
        startAngle, endAngle, color,
        thickness, lineType, shift)

然后使用这些函数就像：

img = np.zeros((500, 500), dtype=np.uint8)
pt1 = (50, 50)
pt2 = (350, 250)
sagitta = 50

center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()

再次注意到负的sagitta给出了另一个方向的弧：

center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 255)
center, radius, start_angle, end_angle = convert_arc(pt1, pt2, -sagitta)
axes = (radius, radius)
draw_ellipse(img, center, axes, 0, start_angle, end_angle, 127)
cv2.imshow('', img)
cv2.waitKey()

最后，为了扩展，我在convert_arc()函数中发现了两个错误情况。第一：

if np.isclose(n_dist, 0):
    # catch error here, d(pt1, pt2) ~ 0
    print('Error: The distance between pt1 and pt2 is too small.')

这里的错误捕获是因为我们需要得到一个单位向量，所以我们需要除以不能为零的长度。当然，只有在pt1和pt2相同的情况下才会发生这种情况，因此您只需检查它们在函数顶部是否唯一，而不是在此处进行检查。

第二

if np.isclose(M11, 0):
    # catch error here, the points are collinear (sagitta ~ 0)
    print('Error: The third point is collinear.')

只有当三个点共线时才会发生这种情况，只有当sagitta为0时才会发生。所以再次，你可以在你的函数顶部检查这个（也许可以说，好吧，如果它是0，那么只是画从pt1到pt2或您想要做的任何事情的行。