Question

static_cast从浮点到整数只是删除数字的小数点。例如，static_cast<int>(13.9999999)会产生13。

并非所有整数都可以表示为浮点数。例如，内部最接近的float到13,000,000可能是：12999999.999999。

在这个假设的情况下，我希望得到一个意想不到的结果：

const auto foo = 12'999'999.5F;
const auto bar = static_cast<long long>(ceil(foo));

我的假设是，如果不一定是13,000,000，这种故障确实会在某个时刻发生。我只想知道我可以信任的范围static_cast<long long>(ceif(foo))？

Answer 1

例如，在内部，最接近13,000,000的浮点数可能是：12999999.999999。

在任何正常的浮点格式中都不可能。数字的浮点表示等同于 M • b ^e，其中 b 是一个固定的基数（例如，2表示二进制浮点数）， M 和 e 是整数，对它们的值有一些限制。为了表示像13,000,000- x 这样的值，其中 x 是一个小于1的正值， e 必须是负数（因为 M • b ^e对于非负 e 是整数）。如果是，那么 M •b ⁰是一个大于 M 的整数• b ^e，因此大于13,000,000，因此13,000,000可以表示为 M＆＃39; • b ⁰，其中 M＆＃39; 是一个小于 M 的正整数，因此符合 M 的允许值范围（在任何正常浮点格式）。（也许一些奇怪的浮点格式可能会在 M 或 e 上施加一个奇怪的范围来阻止这种情况，但是没有正常的格式。）

关于您的代码：

auto test = 0LL;
const auto floater = 0.5F;

for(auto i = 0LL; i == test; i = std::ceil(i + floater)) ++test;

cout << test << endl;

当i为8,388,608时，8,388,608 + .5的数学结果为8,388,608.5。这在您的系统上以float格式无法表示，因此它被舍入为8,388,608。 ceil这是8,388,608。此时，test为8,388,609，因此循环停止。所以这段代码并没有证明8,388,608.5是可表示的，8,388,609不是。

如果我这样做，行为似乎会恢复正常：ceil（8＆＃39; 388＆＃39; 609.5F）将正确返回8,388,610。

8,388,609.5在您的系统上以float格式无法表示，因此它被“舍入为最接近，与均匀关系”的规则四舍五入。两个最接近的可表示值为8,388,609和8,388,610。由于它们相距很远，结果是8,388,610。该值传递给ceil，当然返回8,388,610。

在Visual Studio 2015上，我得到了8,388,609，这是一个可怕的小安全范围。

在IEEE-754基本32位二进制格式中，从-16,777,216到+16,777,216的所有整数都是可表示的，因为格式具有24位有效数字。

Answer 2

Floating point numbers由3个整数， cb ^q 表示：

c 是尾数（因此对于数字： 12,999,999.999999 c 将 12,999,999,999,999 ）
q 是指数（因此对于数字： 12,999,999.999999 q 将 -6 ）
b 是基础（IEEE-754要求 b 为 10 或 2 ;在 b 上方的表示是 10 ）

由此可以很容易地看出，具有表示 12,999,999.999999 的浮点数也能够使用 c 表示 13,000,000.000000 1,300,000,000,000 和 q -5 。

这个例子有点人为，因为所选择的 b 是 10 ，其中几乎所有实现中所选择的基数都是 2 。但值得指出的是，即使 b 2 ， q 也可以作为尾数的左移或右移。

接下来让我们来谈谈一个范围。显然，32位浮点不能表示由32位整数表示的所有整数，因为浮点数也必须代表更多或更多的数字。由于指数只是简单地移动尾数，浮点数总是完全表示可以用它的尾数表示的每个整数。鉴于传统的IEEE-754二进制基础浮点数：

32位（float）有一个24位尾数，因此它可以表示[ -16,777,215 ， 16,777,215 ] <范围内的所有整数/ LI>
64位（double）有一个53位的尾数，因此它可以表示[ -9,007,199,254,740,991 ， 9,007,199,254,740,991 ] <范围内的所有整数/ LI>
128位（long double取决于实现）具有113位尾数，因此它可以表示范围内的所有整数[ -103,845,937,170,696,552,570,609,926,584,40,191 ， 103,845,937,170,696,552,570,609,926,584， 40191

[source]

c++提供digits作为查找给定浮点类型的此数字的方法。（尽管可以肯定，即使long long太小也不能代表113位尾数。）例如，float的最大尾数可以通过以下方式找到：

(1LL << numeric_limits<float>::digits) - 1LL

彻底解释了尾数后，让我们重温指数部分来讨论floating point is actually stored的方式。取 13,000,000.0 ，可以表示为：

c = 13 ， q = 6 ， b = 10
c = 130 ， q = 5 ， b = 10
c = 1,300 ， q = 4 ， b = 10

等等。对于传统的二进制格式IEEE-754要求：

通过选择保留所选字大小和格式中最高有效位（MSB）的最小可表示指数，使表示唯一。此外，指数不是直接表示，而是添加偏差，使得最小的可表示指数表示为1，其中0表示次正规数

如果我们的尾数有 14 小数位，在更熟悉的base-10中解释这一点，实现将如下所示：

c = 13,000,000,000,000 所以MSB将用于代表的数字
q = 6 这有点令人困惑，这是引入偏见的原因;逻辑 ~~q = -6~~ 但偏差设置为当 q = 0 时，只有 c 的MSB为紧靠小数点左侧，意味着 c = 13,000,000,000,000 ， q = 0 ， b = 10 将代表 1.3 < / em>的

b = 10 上述规则实际上只需要base-2但我已经展示了它们，因为它们适用于base-10以便解释

转换回base-2这意味着numeric_limits<T>::digits - 1的 q 在小数位后只有零。 ceil只有在数字的一小部分时才有效。

这里的最后一点解释是ceil将产生影响的范围。在浮点的指数大于numeric_limits<T>::digits继续增加之后，它仅向结果数引入尾随零，因此当 q 大于或等于时，调用ceil numeric_limits<T>::digits - 2LL。由于我们知道 c 的MSB将在数字中使用，这意味着 c 必须小于(1LL << numeric_limits<T>::digits - 1LL) - 1LL因此对于ceil来说对传统二进制IEEE-754浮点的影响：

32位（float）必须小于 8,388,607

64位（double）必须小于 4,503,599,627,370,495

128位（long double取决于实施）必须小于 5,192,296,858,534,827,628,530,496,329,220,095

什么时候静态播放ceil的结果会影响结果？

2 个答案: