如何用`replace`完成这种交换性证明？

Question

在this文档中，提到了replace如何用于完成证明，但它最终使用rewrite，这似乎是写{{}的语法糖。 1}}给你。我对了解如何明确使用它感兴趣。

如果我理解正确，可以使用它replace作为S k = S (plus k 0)重写，给出S (plus k 0) = S (plus k 0)的证明，然后可以通过反身性证明。但如果我们将其作为k = plus k 0实例化，我们现在需要replace {P = \x => S x = S (plus k 0)} {x = k} {y = plus k 0} rec的证明，这是我们想要开始证明的。简而言之，我不确定S k = S (plus k 0)到底应该是什么。

Answer 1

啊，回想起来，这是相当明显的。如果我们让：

P = \x => S x = S (plus k 0)

然后，我们可以证明x = (plus k 0)（通过反身性）。现在，如果我们让y = k，那么，使用replace，我们会获得S k = S (plus k 0)的证明，这就是我们所需要的。或者，换句话说：

plusCommZ : (m : Nat) -> m = plus m 0
plusCommZ Z = Refl
plusCommZ (S k) = replace 
  {P = \x => S x = S (plus k 0)}
  {x = plus k 0}
  {y = k}
  (sym (plusCommZ k))
  Refl

完成证明。我们可以使用P = \x => S x = S k来反过来。