Question

（编辑：我的问题被标记为重复的question已在我的原始帖子中链接，甚至在标记之前，我认为不足以回答我的具体问题，为什么如何在不对未知函数做任何假设的情况下获得某种复杂性。）

我正在尝试解决CLRS中的练习（Cormen Intro to Algorithms，3ed）。练习如下：

提供一种有效的算法将给定的β位（二进制）整数转换为十进制表示。认为如果长度最多为β的整数的乘法或除法需要时间M（β），那么我们可以在时间Θ[M（β）lgβ]中将二进制转换为十进制。（提示：使用分而治之的方法，通过单独的递归获得结果的上半部分和下半部分）。

此问题已被问及here和here。然而，那里的答案要么做出错误的假设，例如M（β）= O（β），要么给出答案完全忽略了问题的要求。另一个答案here甚至明确地陈述了Θ[M（β）lgβ]结果，但解释是非常手工的，好像结果是显而易见的：

你可以在O（M（n）log（n））时间进行基本转换，但是，通过选择目标基数的功率，该功率大致是待转换数的平方根，进行除法和-remainder by it（可以通过牛顿方法在O（M（n））时间内完成），并在两半上递归。

这个解释对我来说并不完全清楚：没有对M（n）做任何假设，这样的递归会导致O（M（n）n）时间，而不是O（M（n）log（n））。（编辑：我的问题已被标记为该线程的副本，但我已经在我的原始帖子中包含了该线程的链接，之后它被标记为重复，因为我觉得该线程的答案没有充分解决问题我很困惑。）

据我所知，问题在于每个乘法，商和余数运算都需要一个恒定的时间M，它支配其他所有类型的操作，例如加法。因此，主导项M（β）lgβ仅来自于仅执行lgβ乘法和除法。

然而，我无法想出任何只需要lgβ分裂的东西。例如，如果我们从问题中得到提示，我们可以用伪代码提出以下分而治之的算法。

decimal(x, start, end, n):
    digits = end - start + 1 // assume power of 2
    if digits == 1:
        x[start] = n // 1-based index
    else:
        t = 10^(digits/2) // assume negligible time
        quotient, remainder = n / t // takes M time
        decimal(x, start, start+digits/2-1, quotient)
        decimal(x, start+digits/2, end, remainder)

为了简单起见，在d位数n上调用decimal(x,1,d,n)，d为2的幂，将in的十进制表示放在size-d数组x中。假设行quotient, remainder = n / t占用时间M并支配运行时中的其他所有内容，运行时递归为T（β）= 2T（β/ 2）+ M，其具有解T（β）=Θ（ βM），而不是Θ（Mlgβ）。

我对这个问题的理解是否正确？如果是这样，如何仅使用Θ（lgβ）乘法和/或除法来获得十进制表示？

The following page by a very well-known StackOverflow user讨论了这个问题。特别是：

二进制 - ＆gt;基数：二进制 - ＆gt;基数转换是相同的，但相反。从基数16中的N位数字X开始。您希望将其转换为基数b中的M位数字R.计算：高=楼层（X / bM / 2）。计算：低= X - bM / 2 *高。递归转换低和高。附加结果。最终结果R将是原始数字转换为基数b。

然而，我仍然没有看到这是如何O（lg B）乘法;如果你在两半上递归，你可以根据定义访问递归树中的每个节点，因此有O（B）乘法！

布伦特的“现代计算机算术”第23页第23页，which can be seen here，也讨论了“次级二次算法”，并提到了M（β）lgβ划分和征服算法。但是，我仍然对lgβ来自何处无能为力。同样，如果你分而治之，并且在两个两半上递归，那么运行时至少是线性的，而不是对数的！在该书的第23页，共239页，提供了以下算法（略有释义）：

Algorithm 1.26 FastIntegerOutput
Input: A = (sum 0 to n-1) a_i 2^i
Output: a string S of characters, representing A in based 10
    if A < 10 then
        return char(A)
    else
        find k such that 10^(2k-2) <= A < 10^(2k)
        (Q, R) = DivRem(A, 10^k)
        r = FastIntegerOutput(R)
        return concatenate(FastIntegerOutput(Q), zeros(k-len(r)), r)

布伦特声称：

如果输入A有n个单词，则算法FastIntegerOutput具有复杂度O（M（n）log n）

但同样，我不知道这是怎么可能的，因为行(Q, R) = DivRem(A, B^k)被称为O（n）次，而不是O（lg n）？

Answer 1

首先，要把它排除在外：就我所知，我的问题的标题要求是什么，用对数的除法和乘法进行转换是不可能的;这只是我根据对阅读问题的误解而做出的假设。

我与教科书Modern Computer Arithmetic的作者通信，并且他们说算法确实称为分割Θ（β）次，而不是Θ（lgβ），并且在更深的递归级别，M确实实际上是对于较小尺寸的参数，而不是常数，顶级β，正如我在我的问题中错误地假设的那样。特别地，树的顶级调用具有M（β/ 2），下一级具有2M（β/ 4），然后是4M（β/ 8）等，总共具有1gβ水平。只要M（β）=Ω（β），树总和就是O（M（β）lgβ），尽管通常不Ω（M（β）lgβ），因此< em>不Θ（M（β）lgβ）。例如，对于多项式M（β）=Θ（β^α），对于α= 1，树求和是Θ（βlgβ）=Θ（M（β）lgβ），并且Θ（β^α）= α的Θ（M（β））> 1。

因此，如果我们只假设M（β）=Ω（β），那么运行时间将更准确地描述为O（M（β）lgβ），而不是Θ（M（β）lgβ），如CLRS演习。（在我与现代计算机算术的一位作者的对应中，他们认为CLRS意味着“提供一种有效的算法”意味着假设M（β）是线性的或拟线性的，但CLRS通常对我们假设的假设非常明确。制作，并且“提供一个有效的算法”只是一个通用的短语，他们经常在文本中使用练习和问题，所以我觉得这可能是CLRS的一个小错字。

更新：我向CLRS errata page提交了这个小修正，现在已经开始了：

第933页，练习31.1-13。添加M（β）=Ω（β）的限制，并将期望的时间界限从θ（M（β）lgβ）改变为O（M（β）lgβ）。刘大卫报道。发表于2017年12月25日。严重程度：3 要在第三版的第八次印刷中予以纠正。

仅使用O（lgβ）乘法和除法

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