离散数学及其应用书
作者：Kenneth H. Rosen
在第2章第2.1节（pdf第124页）
“在量词中使用Set Notation
有时我们通过使用a来明确地限制量化语句的域 特别的符号。例如，∀x∈S（P（x））表示P（x）的通用量化 换句话说，∀x∈S（P（x））是∀x（x∈S→P（x））的简写。 类似地，∃x∈S（P（x））表示对S中所有元素的P（x）的存在量化。 也就是说，∃x∈S（P（x））是∃x（x∈S∧P（x））的简写。 “
但是不是∃x∈S（P（x））的简写为∃x（x∈S→P（x））？
如果它是∃x（x∈S∧P（x））的∃x∈S（P（x））简写，那么为什么呢？是不是'∧'（和）必须用'→'（impiles that）取代？
答案 0 :(得分：1)
原始描述似乎是正确的。 差异是由于＆＃34;限制＆＃34;的性质。量化的陈述到较小的集合。 我将用英语重写逻辑： 对于通用量化，您想要说S中的每个元素都满足P，换句话说，对于任何x，如果x在S中，则x必须满足P. 对于存在量化，你想说S中有一些元素满足P，换句话说，有一些x使得x在S中，而且x满足P。
另一方面，您的提案∃x(x ∈ S → P (x))意味着别的东西。这意味着有一些x使得＆＃34;如果x在S中，则x满足P＆＃34;。特别是，S之外的任何x都将满足声明。
例如，取集S = {1, 2, 3}和条件P(x) = x > 4。
现在∃x∈S(P (x))应该是假的，因为S中没有满足P的x。
果然，∃x(x ∈ S ∧ P (x))是假的。
但是∃x(x ∈ S → P (x))是正确的，因为数字5.数字5不在S中，因此，它满足＆＃34;如果x在S中则x满足P＆＃34;。
如果您感到意外，请参阅truth table of implication。它只是＆＃34;暗示＆＃34;在逻辑中定义。