如何在有向加权图中准确地将一条边设置为零，以便找到最短路径？

Question

以下是我正在处理的问题：

  

考虑有向加权图      所有边缘权重都在哪里   正。这个问题的目标是找到最短的路径   在      在两个预先指定的顶点之间   取值   和   吨   ，但有一个额外的扭曲：你可以改变重量   的   究竟   一个边缘（你的   选择）为零。

     

换句话说，你必须选择一个优势      设置为零，最小化最短   之间的路径   取值   和   吨   。   给出一个有效的算法来实现这个目标    0   （   Ë   LG   V   ）时间并分析算法的运行情况   时间。次优解决方案将获得较少的信用。

     

提示：   您可能必须反转边缘，运行a   熟悉的算法多次，加上做一些额外的工作

所以我尝试将Dijkstra从 s 运行到所有其他节点，然后我尝试反转边缘并再次从 s 运行到所有其他节点。但是，我发现我们必须从 s 运行Dijskstra到所有其他节点，然后反转边缘，然后从所有其他节点运行Dijkstra 到 t 。我不确定这有助于我们找到设置为零的边缘。根据我的直觉，我认为我们只需将最大权重边缘设置为零。扭转边缘有什么意义？

Answer 1

我们需要运行Dijkstra算法两次 - 一次用于原始图形，s作为源顶点，一次用反转图形和t作为源顶点。我们将表示从第一次运行中s和i之间的距离D(i)以及我们在顶点t和i之间得到的距离运行D_rev(i)。

请注意，我们可以向后跟随反向边缘（即，沿原始方向跟随它们），因此D_rev(i)实际上是来自顶点的最短距离 {{1 <}> 到 i 。同样，t是遵循Dijkstra算法的从顶点D(i)到s的最短距离。

我们现在可以遍历所有边缘，对于连接i和e的每条边v1，加起来v2和D(v1)对应于路径D_rev(v2)的权重，其中s -> v1 -> v2 -> t为零边，因为我们可以从e转到s，距离为v1，设置为D(v1)为0，从e转到v1，然后从v2转到v2，距离为t。最低限度就是答案。

粗略的校对草图（以及重述）：如果我们将边D_rev(v2)设置为0，但不在路径中使用它，我们可以更好地设置路径中的边缘因此，我们只需要考虑包含归零边的路径。通过归零边e的最短路径是首先采用从e到s的最短路径，然后选择从v1到v2的最短路径，这正是使用Dijkstra算法计算的，即t和D。

希望这个答案有所帮助！