Question

我想知道所有对之间的距离（例如dijkstra。特别是我使用的是networkx）然后，当边缘添加到图形时，我想更新距离而无需从头开始重新计算。

如何做到这一点？感谢

Answer 1

可以不重新计算所有最短路径，但仍然非常昂贵O(n^2)。

因此，假设您有一个大小为n * n的距离矩阵M，其中每个条目M_{i,j}包含从节点i到节点j的距离。假设M由某种算法预先计算。

现在，如果将新边e_{i,j}添加到节点i和节点j之间的图表中且成本为w_{i,j}，则检查是否w_{i,j} < M_{i,j}。如果没有，那么什么都不需要改变。但如果它成立，则图表中的最短路径可能会改善。

然后，对于每个节点对k, l，检查通过新边缘的路径是否比先前计算的路径短。这可以通过评估以下内容来完成。

M_{k,l} > min (M_{k,i} + w_{i,j} + M_{j,l} , M_{k,j} + w_{j,i} + M_{i,l})

如果这样，那么您可以将M_{k,l}替换为min (M_{k,i} + w_{i,j} + M_{j,l} , M_{k,j} + w_{j,i} + M_{i,l})

以上适用于单向图，但也可以适用于双向图。

修改1

我坚信\欧米茄（n ^ 2）也是这个问题的下限。假设图中的两个断开区域都包含n / 2个顶点。然后，如果添加连接这些区域的新边缘，则必须更新n / 2 * n / 2个最短路径，从而至少产生O（n ^ 2）运行时间。

修改2

第二个想法是尝试利用上面的等式，但首先遍历图形，以便找到必须首先更新的所有顶点对。该想法的草图如下：

从节点i开始Dijkstra。每当到达顶点k时，检查M_{k, i} + w_{i, j} < M_{k, j}是否为是，然后将k添加到必须更新的顶点集合U中。如果没有，那么你可以停止探索k之后的其他路径，因为没有顶点＆＃34;超过＆＃34; k将使用e_ {i，j}作为最短路径。

然后对节点j执行相同操作。然后根据上面的想法对U中的所有顶点对执行M的更新。