如何实时检测曲线中的“膝盖/肘部”（最大曲率）

Question

在下面的曲线（蓝线）中，我试图检测应该位于x = 2.5附近的“膝盖/肘部”

这是我正在使用的一组值：

  

x = { - 10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6， 7,8,9,10}

     

y = {0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,107,122,145,176,215,262,317,380,451,530,617}

我尝试了Kneedle algorithm和formal definition of the curvature of a graph（有符号曲率）。我对Kneedle算法的问题是在实时应用程序（嵌入式系统）中我不知道哪个是y轴的最大值，所以我不能正确地对点进行归一化，也找不到斜率值适用于所有情况。当使用图形曲率的形式定义时，我尝试用5阶多项式（绿线）拟合曲线，然后得到导数的值来计算曲率。然而，由于多项式，该方法在x = -2附近找到曲率，因为该点周围存在曲率。

有人可以建议我检测膝盖/肘部吗？

Answer 1

这不是连续曲线，也不是连续曲线的近似值，因此我们不必在此浪费时间：您有一个简单的多边形。相当于“曲率半径”的多边形是入射角和折射角之差：差值越小，“曲率”的半径越大。

如果您正确地对数据进行采样，我们可以计算每个数据点的角度差异：

for (i=1, i<p.length -1):
  vector1 = p[i] - p[i-1] // assuming your language of choice has points as primitives
  vector2 = p[1+1] - p[i] // if not, you'll have to extract x/y separately.
  p[i].angle = findAngle(vector1,vector2)

findAngle函数应该很容易实现，有一百万个关于如何用你喜欢的语言实现它的教程（它是许多语言中的基本语义，甚至是某些语言的内置语言）。就是这样，我们已经将我们的2D数据转换为具有（x，y，z）坐标的3D数据，其中z表示穿过该点的行进中的局部角度。

然后找到任何“膝盖”，我们可以查看所有三个数据点（x-1），（x）和（x + 1）的集合，并考虑那些局部角度差异的x大于其邻居的角度差异。 x最大的区别是“胜利者”：你找到了你的膝盖。 （或者实际上，一个膝盖，因为点数据使零承诺不会上下多次，导致多边形有很多变形）

knee = undefined
max_diff = 0;
for (i=1, i<p.length -1):
  a = p[i].angle

  a1 = p[i-1].angle
  d1 = a1-a

  a3 = p[i+1].angle
  d2 = a3-a

  diff = ... // there's a few ways to compute this
  p[i].diff = diff // always useful if we need to do more work later

  if (diff > max_diff):
    max_diff = diff
    knee = p[i]

我已经将差异计算留给了你，因为你可能只想要d1 + d2或（d1 + d2）/ 2，或者你想根据d1或d2（但不是两者）来切换0等。

当然，重要的是，我们可以“一次性”完成所有这些事情，因为我们收集数据点，因为新点不会影响旧点的位置，所以在某些时候n，我们已经知道最多n-1的角度，并且我们已知道膝盖到n-2，因此我们可以在一次线性传递中计算所有这些值。好又高效。

这种方法类似于找到数据拟合曲线的导数的根，但当我们只有数值数据时，有时最正确的方法是使用数据，而不是“假定重建你从中获取数据的原始事物”。在这种情况下，您没有了解数据源在采样点之间的作用。也许它的表现很好，也许不是，但是你不知道，所以不要浪费周期来解决问题，而是直接使用你知道的属性（当然， 它们对的真实含义：这些是传感器读数，您的传感器绝对会产生噪音甚至是错误的。）

Answer 2

我一直在研究膝关节/肘关节检测。绝不是我是专家。不过，我测试了你到目前为止实现的代码的例子。

Kneedle -> 3.0
L-method -> 4.0
S-method -> 2.0
Menger Curvature -> 1.0
DFDT -> 3.0
DSDT -> 3.0
R-Method -> NA (R2 = NAN)
DK-method -> 1.0

K-needle似乎给出了一个很好的近似值，如DFDT / DSDT和S-方法。 如你所说，kneedle与你的用例无关。

DFDT代表动态第一导数阈值。 它计算一阶导数并使用阈值算法来检测膝/肘点。 DSDT类似，但使用二阶导数，我的评价表明他们有相似的表现。

S方法是L方法的扩展。 L方法在曲线上插入两条直线，两条线之间的截距是拐点/肘点。通过循环整个点，拟合线并评估MSE（均方误差）来找到最佳拟合。 S方法适合3条直线，这提高了精度，但也需要更多的计算。

我的所有代码都在github上公开发布。 此外，此article可以帮助您找到有关该主题的更多信息。它只有四页长，所以应该很容易阅读。 您可以使用代码，如果您想讨论任何方法，请随时这样做。

Answer 3

这是一个算法：

1）将范围分成3rds。 A，B，C

2）对于每个范围（A，B，C），计算任意点的最大斜率减去任何点的最小斜率，并称之为SlopeDiversity。

3）无论哪个三分之一（A，B或C）具有最大的斜率多样性，请从步骤＃1开始重复整个过程。这就像二分，但是是三分。

可能还有一些二分算法有效，但是分成3rds是有道理的，因为你想要丢掉坏部分并保留最好的部分，每次都需要分成3个范围。

另一种'陈述'或者做到这一点的方法是，当你将所有点与一个简单的线性回归模型进行差异时，选择具有“最大总误差”的第三种方法（只有THAT第3行的公式）

Answer 4

答案取决于你如何获得这些价值观。以下答案假设您在输入中获得了一组这些XY数字（如您的示例中所示）。

还有你如何定义曲率。

对于曲率的几何意义（与轴方向无关），您可以将B点的曲率估计为abs( crossproduct(B-A, C-B) ) / length(C-A)，其中A和C是两个相邻点。因为平方根（长度需要）可能是昂贵的，尤其是在嵌入式中，您可以使用该值的平方。

对于曲率的代数定义（二阶导数，很大程度上取决于轴的方向），请参阅以下公式：https://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/

对于曲率的几何意义，

更新：，如果点均匀分布，则上述公式才可以。 对于不同的点密度，最好使用a precise formula作为曲率半径。 4*K = 2*abs( crossproduct(B-A, C-B) )。不幸的是，你需要一个平方根（你可以先将所有三个边的正方形相乘，然后从产品中取一个根）。