在素数有限域中的分数幂的指数

Question

我正在尝试在有限域模数GF（8191）中进行一些求幂，我不确定为什么我得不到一致的结果。

我将这些公式进行比较：与和应该返回相同的结果（至少它在中执行）

Sage代码非常简单：

num, a = 42, 5000

# IN THE REAL DOMAIN:
k = float(num)^(a/(a-1))
print 'k=%f' % k
print 'real (A):', float(k^((a-1)/a)), float(k*((1/k)^(1/a)))
print 'real (B):', float(k^((a-1)/a)), float(k*(1/(k^(1/a))))
print 'real (C):', float(k^((a-1)/a)), float(k*(k^(-1/a)))
print

# NOW IN A FINITE FIELD:
order = 8191 # Field of prime size 2^13-1

# variable inv_a for convenience: 1/a and 1(a-1)
inv_a = inverse_mod(a, order)
inv_a1 = inverse_mod(a-1, order)

k = power_mod(num, a*inv_a1, order) # same "num" as in the Real domain
inv_k = inverse_mod(k, order)       # 1/k

print 'k=%d' % k
print 'finite (A):', power_mod(k, (a-1)*inv_a, order), k*power_mod(inv_k, inv_a, order) % order
print 'finite (C):', power_mod(k, (a-1)*inv_a, order), k*power_mod(k, -inv_a, order) % order

哪个输出：

k=42.031414
real (A): 42.0 42.0
real (B): 42.0 42.0
real (C): 42.0 42.0

k=416
finite (A): 5080 7898
finite (C): 5080 7898

在有限域中，我期望公式给出相同的结果，就像在实数的交换字段中一样，但我得到5080和7898而不是42。

如果你知道原因，谢谢你让我知道。特别是如果代码有问题。

Answer 1

模块化算术不适用于指数，指数是整数而不是有限域元素。例如，在字段GF（3）中，我们具有1 = 4，但是2 ¹ ≠2 ⁴ （后一元素是16，其是1 mod 3）。因此，通过计算有限域中a的倒数然后将k提高到该幂来获得k ^{1 / a} 的想法是行不通的。在有限域中扎根是很困难的（当它们存在时），这在密码学中很有用。

Sage有taking roots in finite fields的内置函数：

F = GF(8191)
num = F(51)
a = 5000
print num.nth_root(a)

打印781.你的例子，42，抛出一个错误，因为它不是这个字段中任何元素的5000次幂，因此没有第5000个根。

设r = num.nth_root(a)，我们现在可以通过将r提高到幂（a-1）或将num除以r来计算num ^{（a-1）/ a} ;一样。

print num/r, r^(a-1)

为两者打印2643。

根源一般不是唯一的。要获得所有这些，请使用

print num.nth_root(a, all=True)

打印[781,7997,1936,7364,4453,7410,194,6255,827,3738]