2D集的稀疏性

Question

将元素（x，y）的 S 的稀疏度定义为x，y实数，为最小实数 d < / strong>，满足这一点，对于 S 中的任何元素 v ，封闭的穿孔球以 v 为中心，半径 d ，非空（通过穿刺球，即球不包括它的中心）。很明显，这样的 d 存在，并且如果 S 非空，则是唯一的。

找到给定集合的稀疏性。

显然，我们有天真的二次时间解决方案。

Answer 1

如果我理解正确，天真的解决方案是将距离最近点指向每个点，答案是最小值。

构建积分的MST（最小生成树）。 （形式上，这是完整图形的MST，其中点是顶点，边缘的权重是相应点之间的距离。）MST具有以下属性：对于每个顶点，入射到它的最小边缘在MST中。因此，仅检查MST的边缘就足以找到答案了。

构建一组点的MST的最快方法是在其上构建Delaunay triangulation，然后使用Kruskal's algorithm找到它的MST。这两个步骤都需要O（n log n）时间，这就是算法的总运行时间。

然而，构建Delaunay三角剖分相当复杂，因此请考虑搜索现有的库而不是从头开始编码。