Question

问题是如何在没有浮点运算或长整数计算的情况下计算floor的整数值（log2（5 ^ x））？我正在寻找一种简单，高效和数学上优雅的方式。

观察：公式只是5 ** x（加1）

中的位数

尝试：我试图将其简化为：地板（X *的log 2（5））

在我的用例中，x不是非常大，可能只有1-100。虽然适用于小值的优雅公式就足够了，但我会对适用于任何x值的公式/算法感兴趣

我正在制作通用数字的参考软件实现（类型III）。我想通过纯粹使用按位和基本操作使一切都可以轻松转换为微码。这是我需要简化的公式之一。

Answer 1

正如您所说，log2(5**x) == x * log2(5)。 log2(5)是常量，可以近似为2.3219281。

但是，每个问题都不允许浮动。不是问题！

log2_5 = 23219281;
scale = 10000000; // note log2_5/scale is the actual value
result = x * log2_5;
output = (result - (result % scale)) / scale;

通过result减少result % scale，将其除以scale将是整数除法，而不是浮点数。

Answer 2

这是一个非常粗略的近似值，但如果你想在心理上获得它可以提供帮助

5^3 = 125
2^7 = 128

所以提升到n的力量：

5^n ~~ 2^(7n/3)

所以5 ^ 12接近2 ^ 28可能需要最多29位。

有点过高估计，因为2 ^ 7＆gt; 5 ^ 3，所以28位就足够了，一个很好的用法就是简单地将分数上半部分。

如果我在Smalltalk评估：

(1 to: 50) reject: [:i | (5 raisedTo: i) highBit = (i*7/3) ceiling].

我明白了：

#(31 34 37 40 43 46 49)

你看到非常简单的配方可以达到5 ^ 30，这并不是那么糟糕。

Answer 3

以简单，高效和数学优雅的方式...... floor(x*log2(5))

由于x的整数值为1到100，因此可以进行各种测试以找到最好的＆＃34;使用整数乘法和除以power_of_2 f(x) = x*a integer_divide power_of_2

有关 f(x) = floor(x*log2(5)) = floor(x*some_float_c) some_float_c的值受以下100个最小值和最大值限制。

x   f(x)    mn  mx
        f(x)/x  (f(x) + 1)/x
1   2   2.00000 3.00000
2   4   2.00000 2.50000
3   6   2.00000 2.33333
... 
59  136 2.30508 2.32203
... 
87  202 2.32184 2.33333
... 
98  227 2.31633 2.32653
99  229 2.31313 2.32323
100 232 2.32000 2.33000

最大分钟为2.32184，最小分数为2.32203，：

2.32184... <= some_float_c < 2.32203...

由于我们无法使用float，请找到some_integer/some_power_of_2

2.32184... <= some_integer/some_power_of_2 < 2.32203...
ceil(some_power_of_2 * 2.32184...) <= some_integer < floor(some_power_of_2 * 2.32203...)

        min     max
        2.32184 2.32203
2       5       4
4       10      9
8       19      18
...
1024    2378    2377
2048    4756    4755
4096    9511    9511  < first one where min <= max
8192    19021   19022

所以9511/4096是最简单的＆＃34;并且是最好的＆＃34;候选者。

f(x) = (x*9511) integer_divide_by_power_of_2 4096

// In C
unsigned y = (x*9511u) >> 12;

如何计算没有浮点运算或长整数计算的floor（log2（5 ** x））

3 个答案: