找到x ^ 2 + y ^ 2 = z ^ 2的解的最佳复杂性

Question

在给定范围内找到x²+y²=z²的解？

x，y和z是整数，范围约为[0,10 ^ 6]。

我能做的最好的事情是迭代所有x和所有 y并在散列中存储x²+y²，然后遍历所有可能的z并检查z²是否在散列中。

Answer 1

你可以认为只有x是奇数而y是偶数。

• x和y的解决方案都可以通过注意到：

  来获得

  x = 2x1; y = 2y1; z = 2z1，其中x1，y1和z1也是解决方案

• 你可以很容易地证明，如果x和y都是奇数，那么x ^ 2 + y ^ 2给出余数2模4，这不是一个完美的正方形。

• 显然如果（x，y，z）是解，那么（y，x，z）也是一个解决方案

通过这种优化，您可以将x和y的可能性降低4倍，并将z的奇数值降低（低2倍）。